- 数学Ⅱ｜式と証明「平方根を含む不等式の証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜平方根を含む不等式の証明
式と証明 41\( a \gt 0 \)、\( b \gt 0 \) のとき、不等式 \( \sqrt{a}+\sqrt{b} \gt \sqrt{a+b} \) の証明方法は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
解法のPoint
平方根を含む不等式の証明
Point：平方根を含む不等式の証明
\(\sqrt{a}+\sqrt{b} \gt \sqrt{a+b}\)
① 両辺の平方の差を計算し、\( 0 \) より大きいことを示す。
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-\left(\sqrt{a+b}\right)^2
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{ab} \gt 0\end{eqnarray}\)
② \( {\rm A} \gt 0 \)、\( {\rm B} \gt 0 \) のとき、\( {\rm A}^2 \gt {\rm B}^2 \Leftrightarrow {\rm A} \gt {\rm B} \) を用いて、不等式を証明する。
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2 \gt \left(\sqrt{a+b}\right)^2\)
\( \sqrt{a}+\sqrt{b} \gt 0 \)、\( \sqrt{a+b} \gt 0 \) より、
\(\sqrt{a}+\sqrt{b} \gt \sqrt{a+b}\)
平方根を含む不等式の証明方法は、
\(\sqrt{a}+\sqrt{b} \gt \sqrt{a+b}\)
① 両辺の平方の差を計算し、\( 0 \) より大きいことを示す。
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-\left(\sqrt{a+b}\right)^2
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{ab} \gt 0\end{eqnarray}\)
② \( {\rm A} \gt 0 \)、\( {\rm B} \gt 0 \) のとき、\( {\rm A}^2 \gt {\rm B}^2 \Leftrightarrow {\rm A} \gt {\rm B} \) を用いて、不等式を証明する。
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2 \gt \left(\sqrt{a+b}\right)^2\)
\( \sqrt{a}+\sqrt{b} \gt 0 \)、\( \sqrt{a+b} \gt 0 \) より、
\(\sqrt{a}+\sqrt{b} \gt \sqrt{a+b}\)
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詳しい解説｜平方根を含む不等式の証明
式と証明 41
\( a \gt 0 \)、\( b \gt 0 \) のとき、不等式 \( \sqrt{a}+\sqrt{b} \gt \sqrt{a+b} \) の証明方法は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
両辺の平方の差を計算して、平方根の値は \(0\) より大きい \(\sqrt{\rm A}\gt 0\) を用いて証明する。
[証明] 両辺の平方の差は、
(左辺)²－(右辺)²
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-\left(\sqrt{a+b}\right)^2
\\[3pt]~~~&=&\left(\sqrt{a}\right)^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+\left(\sqrt{b}\right)^2-(a+b)
\\[3pt]~~~&=&a+2\sqrt{ab}+b-a-b
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{ab}~\gt~0\end{eqnarray}\)
よって、
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2 \gt \left(\sqrt{a+b}\right)^2\)
ここで、\( \sqrt{a}+\sqrt{b} \gt 0 \)、\( \sqrt{a+b} \gt 0 \) より、
\(\sqrt{a}+\sqrt{b} \gt \sqrt{a+b}\) [終]
