- 数学Ⅱ｜式と証明「絶対値を含む不等式の証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜絶対値を含む不等式の証明
式と証明 42不等式 \(|\,a+b\,|{\small ~≦~}|\,a\,|+|\,b\,|\) の証明方法は？また、等号が成り立つ条件の求め方は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
解法のPoint
絶対値を含む不等式の証明
Point：絶対値を含む不等式の証明
\(|\,a+b\,|{\small ~≦~}|\,a\,|+|\,b\,|\)
① 両辺の平方の差を計算し、\(0\) 以上であることを示す。
■ 絶対値の性質
\(|\,a\,|^2=a^2~,~|\,a\,||\,b\,|=|\,ab\,|\)
\(|\,a\,|{\small ~≧~}a~,~|\,a\,|{\small ~≧~}-a\)
② \(\rm A{\small ~≧~}0~,~B{\small ~≧~}0\) のとき、\(\rm A^2{\small ~≧~}B^2~\Leftrightarrow~A{\small ~≧~}B\) を用いて、不等式を証明する。
③ 等号が成立する条件を求める。
\(|\,ab\,|-ab{\small ~≧~}0\) のときの等号成立条件は、
\(|\,ab\,|=ab\)、すなわち \(ab{\small ~≧~}0\) のとき
絶対値を含む不等式の証明は、
\(|\,a+b\,|{\small ~≦~}|\,a\,|+|\,b\,|\)
① 両辺の平方の差を計算し、\(0\) 以上であることを示す。
■ 絶対値の性質
\(|\,a\,|^2=a^2~,~|\,a\,||\,b\,|=|\,ab\,|\)
\(|\,a\,|{\small ~≧~}a~,~|\,a\,|{\small ~≧~}-a\)
② \(\rm A{\small ~≧~}0~,~B{\small ~≧~}0\) のとき、\(\rm A^2{\small ~≧~}B^2~\Leftrightarrow~A{\small ~≧~}B\) を用いて、不等式を証明する。
③ 等号が成立する条件を求める。
\(|\,ab\,|-ab{\small ~≧~}0\) のときの等号成立条件は、
\(|\,ab\,|=ab\)、すなわち \(ab{\small ~≧~}0\) のとき
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詳しい解説｜絶対値を含む不等式の証明
式と証明 42
不等式 \(|\,a+b\,|{\small ~≦~}|\,a\,|+|\,b\,|\) の証明方法は？また、等号が成り立つ条件の求め方は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
[証明] 両辺の平方の差は、
(右辺)²－(左辺)²
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(\,|\,a\,|+|\,b\,|\,\right)^2-|\,a+b\,|^2
\\[3pt]~~~&=&|\,a\,|^2+2|\,a\,||\,b\,|+|\,b\,|^2-(a+b)^2
\\[3pt]~~~&=&a^2+2|\,ab\,|+b^2-\left(\,a^2+2ab+b^2\,\right)
\\[3pt]~~~&=&a^2+2|\,ab\,|+b^2-a^2-2ab-b^2
\\[3pt]~~~&=&2\left(\,|\,ab\,|-ab\,\right){\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\(|\,a+b\,|^2{\small ~≦~}\left(\,|\,a\,|+|\,b\,|\,\right)^2\)
\(|\,a+b\,|{\small ~≧~}0~,~|\,a\,|+|\,b\,|{\small ~≧~}0\) より、
\(|\,a+b\,|{\small ~≦~}|\,a\,|+|\,b\,|\) [終]
等号が成り立つのは、
\(|\,ab\,|-ab=0~~\Leftrightarrow~~|\,ab\,|=ab\)
すなわち \(ab{\small ~≧~}0\) のとき
