問題解説：高次方程式の解①（３次方程式）
問題解説(1)
$$\hspace{ 33 pt} x^3=-8$$$$\hspace{ 15 pt} x^3+8=0$$$$\hspace{ 10 pt}x^3+2^3=0$$ここで、因数分解の公式 \( a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) より、$$~~~(x+2)(x^2-x\cdot2+2^2)=0$$$$\hspace{ 20 pt} (x+2)(x^2-2x+4)=0$$
よって、\(x+2=0\) または、\(x^2-2x+4=0\) が解となります。$$~~~x+2=0$$$$\hspace{ 26 pt}x=-2$$
また、$$~~~x^2-2x+4=0$$解の公式を用いると、$$~~~x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot4}}{2\cdot1}$$$$\hspace{ 16 pt}=\frac{2\pm\sqrt{4-16}}{2}$$$$\hspace{ 16 pt}=\frac{2\pm\sqrt{-12}}{2}$$負の数の平方根を \(i\) を用いて表すと、$$\hspace{ 16 pt}=\frac{2\pm\sqrt{12}i}{2}$$$$\hspace{ 16 pt}=\frac{2\pm2\sqrt{3}i}{2}$$$$\hspace{ 16 pt}=1\pm\sqrt{3}i$$
よって、答えは \(x=-2~,~1\pm\sqrt{3}i\) となります。
問題解説(2)
\(P(x)=x^3-5x^2+17x-13\) とすると、$$~~~P(1)=1^3-5\cdot1^2+17\cdot1-13$$$$\hspace{ 32 pt}=1-5+17-13=0$$よって、\(P(x)\) は \(x-1\) を因数にもちます。
\(P(x)\) を \(x-1\) で割ると、
\(\hspace{ 25 pt} \underline{~x^2-4x+13\hspace{ 40 pt} }\)
\(x-1 )~ x^3-5x^2+17x-13 \)
\(\hspace{ 16 pt} – \underline{) ~x^3-x^2\hspace{ 58 pt} }\)
\(\hspace{ 43 pt} -4x^2+17x-13\)
\(\hspace{ 25 pt}-\underline{)~-4x^2+4x\hspace{ 30 pt}}\)
\(\hspace{ 80 pt} 13x-13 \)
\(\hspace{ 66 pt}-\underline{)~13x-13~}\)
\(\hspace{ 112 pt} 0\)
よって、\(P(x)=(x-1)(x^2-4x+13)\) となるので、$$~~~(x-1)(x^2-4x+13)=0$$これより、\(x-1=0\) または \(x^2-4x+13=0\) が解となります。$$~~~x-1=0$$$$\hspace{ 25 pt}x=1$$
また、$$~~~x^2-4x+14=0$$解の公式を用いると、$$~~~x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot1\cdot13}}{2\cdot1}$$$$\hspace{ 16 pt}=\frac{4\pm\sqrt{16-52}}{2}$$$$\hspace{ 16 pt}=\frac{4\pm\sqrt{-36}}{2}$$負の数の平方根を \(i\) を用いて表すと、$$\hspace{ 16 pt}=\frac{4\pm\sqrt{36}i}{2}$$$$\hspace{ 16 pt}=\frac{4\pm6i}{2}$$$$\hspace{ 16 pt}=2\pm3i$$
よって、答えは \(x=1~,~2\pm3i\) となります。
今回のまとめ
３次方程式の解は３次式の因数分解を用いるか、因数定理を用いて因数分解をする方法で解いていきましょう。
