問題解説：高次方程式の解②（４次方程式）
問題解説(1)
\(P(x)=x^4+3x^2-26x-30\) とすると、$$~~~P(-1)=(-1)^4+3(-1)^2-26(-1)-30$$$$\hspace{ 40 pt}=1+3+26-30=0$$よって、\(P(x)\) は \(x+1\) を因数にもちます。
\(P(x)\) を \(x+1\) で割ると、
\(\hspace{ 27 pt}\underline{~x^3-x^2+4x-30\hspace{ 38 pt}}\)
\(x+1)~x^4~~~~~~~~~+3x^2-26x-30\)
\(\hspace{ 15 pt}-\underline{)~x^4+x^3\hspace{ 82 pt}}\)
\(\hspace{ 45 pt}-x^3+3x^2-26x-30\)
\(\hspace{ 28 pt}-\underline{)~-x^3-x^2\hspace{ 57 pt}}\)
\(\hspace{ 73 pt}4x^2-26x-30\)
\(\hspace{ 59 pt}-\underline{)~4x^2+4x\hspace{ 35 pt}}\)
\(\hspace{ 95 pt}-30x-30\)
\(\hspace{ 77 pt}-\underline{)~-30x-30~}\)
\(\hspace{ 135 pt}0\)
よって、$$~~~P(x)=(x+1)(x^3-x^2+4x-30)$$ここで、\(Q(x)=x^3-x^2+4x-30\) とすると、$$~~~Q(3)=3^3-3^2+4\cdot3-30$$$$\hspace{ 31 pt}=27-9+12-30=0$$よって、\(Q(x)\) は \(x-3\) を因数にもちます。
\(Q(x)\) を \(x-3\) で割ると、
\(\hspace{ 27 pt} \underline{~x^2+2x+10 \hspace{ 27 pt}}\)
\(x-3)~x^3-x^2+4x-30\)
\(\hspace{ 15 pt}-\underline{)~x^3-3x^2\hspace{ 45 pt}}\)
\(\hspace{ 50 pt}2x^2+4x-30\)
\(\hspace{ 38 pt}-\underline{)~2x^2-6x\hspace{ 20 pt}}\)
\(\hspace{ 72 pt}10x-30\)
\(\hspace{ 58 pt}-\underline{)~10x-30~}\)
\(\hspace{ 104 pt} 0\)
よって、\(Q(x)=(x-3)(x^2+2x+10)\)
したがって、与式は、$$~~~(x+1)(x-3)(x^2+2x+10)=0$$これより、\(x+1=0~,~x-3=0~,~x^2+2x+10=0\) が解となります。$$~~~x+1=0$$$$\hspace{ 25 pt}x=-1$$
また、$$~~~x-3=0$$$$\hspace{ 25 pt}x=3$$
また、$$~~~x^2+2x+10=0$$解の公式より、$$~~~x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot10}}{2\cdot1}$$$$\hspace{ 17 pt}=\frac{-2\pm\sqrt{4-40}}{2}$$$$\hspace{ 17 pt}=\frac{-2\pm\sqrt{-36}}{2}$$負の数の平方根を \(i\) を用いて表すと、$$\hspace{ 17 pt}=\frac{-2\pm\sqrt{36}i}{2}$$$$\hspace{ 17 pt}=\frac{-2\pm6i}{2}$$$$\hspace{ 17 pt}=-1\pm3i$$
よって、答えは$$~~~x=-1~,~3~,~-1\pm3i$$となります。
問題解説(2)
$$~~~~~~~~~x^4-7x^2-18=0$$$$\hspace{ 10 pt}(x^2)^2-7x^2-18=0$$$$\hspace{ 11 pt}(x^2+2)(x^2-9)=0$$よって、\(x^2+2=0~,~x^2-9=0\) が解となります。$$~~~x^2+2=0$$$$\hspace{ 26 pt}x^2=-2$$$$\hspace{ 31 pt}x=\pm\sqrt{-2}$$負の数の平方根を \(i\) を用いて表すと、$$\hspace{ 31 pt}x=\pm\sqrt{2}i$$また、$$~~~x^2-9=0$$$$\hspace{ 26 pt}x^2=9$$$$\hspace{ 31 pt}x=\pm3$$
よって、答えは$$~~~x=\pm\sqrt{2}i~,~\pm3$$となります。
今回のまとめ
４次方程式の解は因数定理を２回使って因数分解していくパターンと、複２次式の因数分解を利用して解くパターンを覚えておきましょう。
