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線分の長さの条件

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今回の問題は「線分の長さの条件」です。

問題3点 \(A(2,3)~,~B(1,-1)~,~C(-2,1)\) について、次の点の座標を求めよ。
\({\small (1)}~\)2点 \(A~,~B\) から等距離にある \(x\) 軸上の点 \(P\) の座標
\({\small (2)}~\)2点 \(B~,~C\) から等距離にある \(y=-2x+1\) 上の点 \(Q\) の座標

 

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線分の長さの条件の解法

Point:線分の長さの条件2点 \(A~,~B\) から等距離にある点 \(P\) の座標は、
① 点 \(P\) の座標を条件を使って文字式で表します。
② 2点間の距離の公式より、\(AP~,~BP\)を求めて、\(AP^2=BP^2\) を計算します。

 

問題解説:線分の長さの条件

問題解説(1)

問題3点 \(A(2,3)~,~B(1,-1)~,~C(-2,1)\) について、次の点の座標を求めよ。
\({\small (1)}~\)2点 \(A~,~B\) から等距離にある \(x\) 軸上の点 \(P\) の座標

点 \(P\) の座標は \(x\) 軸上にあることより、\(y\) 座標は \(0\) となります。よって、定数 \(k\) を用いて、$$~~~P(k,0)$$とおけます。
3点 \(A(2,3)~,~B(1,-1)~,~P(k,0)\) について、\(AP^2~,~BP^2\) は2点間の距離の公式を用いると、$$~~~~~~AP^2$$$$~=(k-2)^2+(3-0)^2$$$$~=k^2-4k+4+3^2$$$$~=k^2-4k+4+9$$$$~=k^2-4k+13$$また、$$~~~~~~BP^2$$$$~=(k-1)^2(-1-0)^2$$$$~=k^2-2k+1+(-1)^2$$$$~=k^2-2k+1+1$$$$~=k^2-2k+2$$
ここで、等距離の条件 \(AP=BP\) より、\(AP^2=BP^2\) となるので、$$\hspace{10pt}k^2-4k+13=k^2-2k+2$$\(13\) を右辺に、\(k^2-2k\) を左辺に移項すると、$$\hspace{ 10 pt}k^2-4k-k^2+2k=2-13$$$$\hspace{ 69 pt}-2k=-11$$両辺を \(-2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}k=\frac{11}{2}$$よって、点 \(P\) の座標は、\(\left({\Large \frac{11}{2}},0\right)\) となります。

 

問題解説(2)

問題3点 \(A(2,3)~,~B(1,-1)~,~C(-2,1)\) について、次の点の座標を求めよ。
\({\small (2)}~\)2点 \(B~,~C\) から等距離にある \(y=-2x+1\) 上の点 \(Q\) の座標

点 \(Q\) の座標は、\(x\) 座標を \(k\) とすると、\(y\) 座標は直線 \(y=-2x+1\) 上にあるので、$$~~~y=-2k+1~\cdots①$$よって、点 \(Q\) の座標は \((k,-2k+1)\) となります。
3点 \(B(1,-1)~,~C(-2,1)~,~Q(k,-2k+1)\) について、\(BQ^2~,~CQ^2\) は2点間の距離の公式を用いると、$$~~~~~~BQ^2$$$$~=(k-1)^2+\{-2k+1-(-1)\}^2$$$$~=(k-1)^2+(-2k+2)^2$$$$~=k^2-2k+1+4k^2-8k+4$$$$~=5k^2-10k+5$$また、$$~~~~~~CQ^2$$$$~=\{k-(-2)\}^2+(-2k+1-1)^2$$$$~=(k+2)^2+(-2k)^2$$$$~=k^2+4k+4+4k^2$$$$~=5k^2+4k+4$$
ここで、等距離の条件 \(BQ=CQ\) より、\(BQ^2=CQ^2\) となるので、$$\hspace{10 pt}5k^2-10k+5=5k^2+4k+4$$\(5\) を右辺に、\(5k^2+4k\) を左辺に移項すると、$$\hspace{ 10 pt}5k^2-10k-5k^2-4k=4-5$$$$\hspace{ 79 pt}-14k=-1$$両辺を \(-14\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}k=\frac{1}{14}$$また、\(y\) 座標はこの \(k\) の値を①に代入すると、$$~~~y=-2\cdot\frac{1}{14}+1$$$$\hspace{ 16 pt}=-\frac{1}{7}+1$$$$\hspace{ 16 pt}=\frac{-1+7}{7}$$$$\hspace{ 16 pt}=\frac{6}{7}$$よって、点 \(Q\) の座標は、\(\left({\Large \frac{1}{14}},{\Large \frac{6}{7}}\right)\) となります。

 

今回のまとめ

2点から等距離にある点の座標を求めるときは、点の座標をどうおくかと等距離にある条件式に注意して解いていきましょう。

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