平行四辺形を作る点の座標の解法
「\(AC\) の中点の座標＝ \(BD\) の中点の座標」
これを利用して解きましょう。
また、４点 \(A,B,C,D\) が平行四辺形となるとき、
① 四角形 \(ABCD\) で対角線は \(AC~,~BD\)
② 四角形 \(ABDC\) で対角線は \(AD~,~BC\)
③ 四角形 \(ADBC\) で対角線は \(AB~,~DC\)
この３通りの可能性があるので、点 \(D\) の位置も３通りあることになります。
問題解説：平行四辺形を作る点の座標
３点の座標が \(A(2,3)~,~B(1,-1)~,~C(-2,1)\) であり、点 \(D\) の座標を \((x,y)\) とすると、
( ⅰ ) 四角形 \(ABCD\) で対角線は \(AC~,~BD\) であることより、
\(AC\) の中点は、$$~~~~~~\left(\frac{2+(-2)}{2}~,~\frac{3+1}{2}\right)$$$$~=\left(0~,~\frac{4}{2}\right)$$$$~=(0,2)$$\(BD\) の中点は、$$~~~~~~\left( \frac{1+x}{2}~,~\frac{-1+y}{2}\right)$$これらは一致するので、\(x\) 座標は、$$\hspace{ 10 pt}0=\frac{1+x}{2}$$$$\hspace{ 10 pt}0=1+x$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}-x=1$$$$\hspace{ 18 pt}x=-1$$また、\(y\) 座標は、$$\hspace{ 10 pt}2=\frac{-1+y}{2}$$両辺に \(2\) をかけると、$$\hspace{ 10 pt}4=-1+y$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}-y=-1-4$$$$\hspace{ 10 pt}-y=-5$$$$\hspace{ 18 pt}y=5$$よって、\((-1,5)\) となります。
( ⅱ ) 四角形 \(ABDC\) で対角線は \(AD~,~BC\) であることより、
\(AD\) の中点は、$$~~~~~~\left( \frac{2+x}{2}~,~\frac{3+y}{2} \right)$$\(BC\) の中点は、$$~~~~~~\left( \frac{1+(-2)}{2}~,~\frac{-1+1}{2}\right)$$$$~=\left( -\frac{1}{2}~,~0\right)$$これらは一致するので、\(x\) 座標は、$$\hspace{ 10 pt} \frac{2+x}{2}=-\frac{1}{2}$$両辺に \(2\) をかけると、$$\hspace{ 10 pt}2+x=-1$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}x=-1-2$$$$\hspace{ 10 pt}x=-3$$また、\(y\) 座標は、$$\hspace{ 10 pt}\frac{3+y}{2}=0$$$$\hspace{ 10 pt}3+y=0$$移項すると、$$\hspace{ 18 pt}y=-3$$よって、\((-3,-3)\) となります。
( ⅲ ) 四角形 \(ADBC\) で対角線は \(AB~,~DC\) であることより、
\(AB\) の中点は、$$~~~~~~\left(\frac{2+1}{2}~,~\frac{3+(-1)}{2}\right)$$$$~=\left(\frac{3}{2}~,~\frac{2}{2}\right)$$$$~=\left(\frac{3}{2}~,~1\right)$$\(DC\) の中点は、$$~~~~~~\left( \frac{x+(-2)}{2}~,~\frac{y+1}{2}\right)$$$$~=\left(\frac{x-2}{2}~,~\frac{y+1}{2}\right)$$これらは一致するので、\(x\) 座標は、$$\hspace{ 10 pt}\frac{3}{2}=\frac{x-2}{2}$$両辺に \(2\) をかけると、$$\hspace{ 10 pt}3=x-2$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}-x=-2-3$$$$\hspace{ 10 pt}-x=-5$$$$\hspace{ 18 pt}x=5$$また、\(y\) 座標は、$$\hspace{ 10 pt}1=\frac{y+1}{2}$$両辺に \(2\) をかけると、$$\hspace{ 10 pt}2=y+1$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}-y=1-2$$$$\hspace{ 10 pt}-y=-1$$$$\hspace{ 18 pt}y=1$$よって、\((5,1)\) となります。
以上より、点 \(D\) の座標は$$~~~(-1,5)~,~(-3,-3)~,~(5,1)$$となります。
今回のまとめ
座標平面上の４点が平行四辺形となる問題は、その４点の並び方と対角線が中点で交わる条件として解くことを覚えておきましょう。
