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2点を通る直線の方程式

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2点を通る直線の方程式の解法

Point:2点を通る直線の方程式・2点を通る直線
2点 \((x_a,y_a)~,~(x_b,y_b)\) を通る直線の方程式は、
① \(x_a\neq x_b\) かつ \(y_a\neq y_b\) のとき

$$y-y_a=\frac{y_b-y_a}{x_b-x_a} (x-x_a)$$

傾きの部分が、
分子が \(y\) の増加量 \(y_b-y_a\)
分母が \(x\) の増加量 \(x_b-x_a\)
となっています。引く順番を分母分子で揃えることに注意しましょう。
 
② \(x_a=x_b\) のとき

\(x\) 座標が同じであり、\(y\) 軸に平行な直線となるので、

$$x=x_a$$

となります。
 
③ \(y_a=y_b\) のとき

\(y\) 座標が同じであり、\(x\) 軸に平行な直線となるので、

$$y=y_a$$

となります。
 
・切片を通る直線
2点 \((a,0)~,~(0,b)\) のように、\(x\) 切片と \(y\) 切片が与えられた直線の方程式は、

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$$

となります。

 

問題解説:2点を通る直線の方程式

問題解説(1)

問題次の直線の方程式を求めよ。
\({\small (1)}~\)2点 \((2,3)~,~(-2,1)\) を通る直線

2点 \((2,3)~,~(-2,1)\) を通るので、$$\hspace{ 10 pt}y-3=\frac{1-3}{-2-2}(x-2)$$$$\hspace{ 10 pt}y-3=\frac{-2}{-4}(x-2)$$$$\hspace{ 10 pt}y-3=\frac{1}{2}(x-2)$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}y=\frac{1}{2}x-1+3$$$$\hspace{ 10 pt}y=\frac{1}{2}x+2$$よって、答えは \(y={\Large \frac{1}{2}} x+2\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の直線の方程式を求めよ。
\({\small (2)}~\)2点 \((2,3)~,~(2,-5)\) を通る直線

2点 \((2,3)~,~(2,-5)\) は \(x\) 座標が等しいので \(y\) 軸に平行な直線となります。よって、答えは \(x=2\) となります。

 

問題解説(3)

問題次の直線の方程式を求めよ。
\({\small (3)}~\)2点 \((3,1)~,~(-2,1)\) を通る直線

2点 \((3,1)~,~(-2,1)\) は \(y\) 座標が等しいので \(x\) 軸に平行な直線となります。よって、答えは \(y=1\) となります。

 

問題解説(4)

問題次の直線の方程式を求めよ。
\({\small (4)}~\)2点 \((2,0)~,~(0,1)\) を通る直線

2点 \((2,0)~,~(0,1)\) を通ることより、\(x\) 切片と \(y\) 切片がわかるので、直線の方程式は次のようなります。$$~~~\frac{x}{2}+\frac{y}{1}=1$$$$\hspace{ 12 pt}\frac{x}{2}+y=1$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}y=-\frac{1}{2}x+1$$よって、答えは \(y=-{\Large \frac{1}{2}}x+1\) となります。

 

今回のまとめ

2点を通る直線の方程式は、その2点の位置で求める公式が変わります。まずは与えられた2点がどのような位置関係になっているか確認しましょう。

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