直線に対して対称な点

2018.05.052020.06.09

直線に対して対称な点の解法
問題解説：直線に対して対称な点
今回のまとめ

直線に対して対称な点の解法

Point：直線に対して対称な点直線 $l:~ax+by+c=0$ に対して点 $A(x_a,y_a)$ と対称な点 $B$ の座標は、

① 求める点 $B$ の座標を $(p,q)$ とします。
② 直線 $l$ の傾き $m_1$ と直線 $AB$ の傾き $m_2$ を求めます。
③ 直線 $l$ と直線 $AB$ が垂直に交わることより、

$$m_1 \times m_2=-1~\cdots~{\small (a)}$$

④ 線分 $AB$ の中点 $M$ の座標を求めます。

$$M\left(\frac{x_a+p}{2}~,~\frac{y_a+q}{2}\right)$$

⑤ 点 $M$ が直線 $l$ 上にあることより、代入すると、

$$a\cdot \frac{x_a+p}{2}+b\cdot \frac{y_a+q}{2}+c=0~\cdots~ {\small (b)}$$

⑥ ${\small (a)}$ と ${\small (b)}$ を連立して、$p$ と $q$ の値を求めます。

問題解説：直線に対して対称な点

問題直線 $l:~x-2y+7=0$ に対して点 $A(1,-1)$ と対称な点 $B$ の座標を求めよ。

求める点 $B$ の座標を $(p,q)$ とします。
直線 $l:~x-2y+7=0$ について、$$~~~x-2y+7=0$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}-2y=-x-7$$両辺を $-2$ で割ると、$$\hspace{ 10 pt} y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$$よって、$l$ の傾きが ${\Large \frac{1}{2}}$ となります。

次に直線 $AB$ の傾きは、２点の座標が $A(1,-1)$ $,$ $B(p,q)$ より、$$~~~\frac{q-(-1)}{p-1}=\frac{q+1}{p-1}$$直線 $l$ と直線 $AB$ が垂直に交わるので、$$~~~\frac{1}{2}\times\frac{q+1}{p-1}=-1$$$$\hspace{ 16 pt}\frac{q+1}{2(p-1)}=-1$$$$\hspace{ 33 pt}q+1=-1\times 2(p-1)$$$$\hspace{ 33 pt}q+1=-2p+2$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}q+1+2p-2=0$$$$\hspace{ 28 pt}2p+q-1=0~\cdots{\large ①}$$
次に線分 $AB$ の中点 $M$ の座標は、$$~~~M\left( \frac{1+p}{2}~,~\frac{-1+q}{2} \right)$$直線 $l$ 上に点 $M$ があることより、$x-2y+7=0$ に代入すると、$$~~~\left( \frac{1+p}{2} \right) -2\left( \frac{-1+q}{2} \right)+7=0$$$$\hspace{ 57 pt}\frac{1+p}{2}+1-q+7=0$$$$\hspace{ 75 pt}\frac{1+p}{2}-q+8=0$$両辺に $2$ をかけると、$$\hspace{ 10 pt}1+p-2q+16=0$$$$\hspace{ 37 pt}p-2q+17=0~\cdots{\large ②}$$
①×２+②より、$$~~~(2p+q-1)\times 2+(p-2q+17)=0$$$$\hspace{ 35 pt}4p+2q-2+p-2q+17=0$$$$\hspace{ 120 pt}5p+15=0$$移項し、両辺を $5$ で割ると、$$\hspace{ 10 pt}5p=-15$$$$\hspace{ 15 pt}p=-3$$これを②に代入すると、$$~~~-3+2q-11=0$$$$\hspace{ 37 pt}2q-14=0$$移項し、両辺を $2$ で割ると、$$\hspace{ 10 pt}2q=14$$$$\hspace{ 15 pt}q=7$$よって、答えは $B(-3,7)$ となります。