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円の方程式の決定①(点の条件)

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今回の問題は「円の方程式の決定①(点の条件)」です。

問題次の円の方程式を求めよ。
\({\small (1)}~\)2点 \(A(-3,6)~,~B(3,-2)\) が直径
\({\small (2)}~\)3点 \((0,1)~,~(-2,-1)~,~(-4,1)\) を通る

 

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点の条件が与えられた円の方程式の決定

Point:円の方程式の決定・直径の両端が与えられた場合
2点 \(AB\) が直径になるとき、
2点間の距離の公式より \(AB\) を求めると、半径は \({\Large \frac{AB}{2}}\) となりす。
また、円の中心は線分 \(AB\) の中点となります。
これらより、円の方程式を求めましょう。

 
・3点が与えられた場合
円の方程式を、$$~~~x^2+y^2+lx+my+n=0$$とすると、3点の座標を代入した3つの式を連立するとこより、\(l~,~m~,~n\) の値を求めて再代入するとこで円の方程式を求めます。
 

問題解説:円の方程式の決定①(点の条件)

問題解説(1)

問題

次の円の方程式を求めよ。
\({\small (1)}~\)2点 \(A(-3,6)~,~B(3,-2)\) が直径

2点 \(A(-3,6)~,~B(3,-2)\) より、
線分 \(AB\) の長さは、2点間の距離の公式より、$$~~~~~~AB$$$$~=\sqrt{\{3-(-3)\}^2+(-2-6)^2}$$$$~=\sqrt{6^2+(-8)^2}$$$$~=\sqrt{36+64}$$$$~=\sqrt{100}$$$$~=10$$よって、$$~~~\frac{10}{2}=5$$これより、半径は \(5\) となります。
 
また、中心は線分 \(AB\) の中点より、$$~~~~~~\left(\frac{-3+3}{2}~,~\frac{6+(-2)}{2}\right)$$$$~=\left(0~,~\frac{4}{2}\right)$$$$~=(0,2)$$

したがって、中心 \((0,2)\) 、半径 \(5\) の円となるので、$$~~~(x-0)^2+(y-2)^2=5^2$$$$\hspace{ 32 pt}x^2+(y-2)^2=25$$よって、答えは \(x^2+(y-2)^2=25\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の円の方程式を求めよ。
\({\small (2)}~\)3点 \((0,1)~,~(-2,-1)~,~(-4,1)\) を通る

円の方程式を$$~~~x^2+y^2+lx+my+n=0$$とすると、
点 \((0,1)\) を代入すると、$$~~~0^2+1^2+l\cdot0+m\cdot1+n=0$$$$\hspace{ 75 pt}1+m+n=0$$$$\hspace{ 75 pt}m+n+1=0\cdots{\large ①}$$
点 \((-2,-1)\) を代入すると、$$~~~(-2)^2+(-1)^2$$$$~~~~~~~~~~+l\cdot(-2)+m\cdot(-1)+n=0$$$$\hspace{ 55 pt}4+1-2l-m+n=0$$$$\hspace{ 65 pt}-2l-m+n+5=0$$両辺に \(-1\) をかけると、$$\hspace{ 10 pt}2l+m-n-5=0~\cdots{\large ②}$$
点 \((-4,1)\) を代入すると、$$~~~(-4)^2+1^2+l\cdot(-4)+m\cdot1+n=0$$$$\hspace{ 64 pt}16+1-4l+m+n=0$$$$\hspace{ 74 pt}-4l+m+n+17=0$$両辺に \(-1\) をかけると、$$\hspace{ 10 pt}4l-m-n-17=0~\cdots{\large ③}$$
①+③より、$$~~~(m+n+1)+(4l-m-n-17)=0$$$$\hspace{ 23 pt}m+n+1+4l-m-n-17=0$$$$\hspace{ 120 pt}4l-16=0$$移項して、両辺を \(4\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}4l=16$$$$\hspace{ 16 pt}l=4$$
これを②に代入すると、$$~~~2\cdot4+m-n-5=0$$$$\hspace{ 20 pt}8+m-n-5=0$$$$\hspace{ 37 pt}m-n+3=0~\cdots④$$
①+④より、$$~~~(m+n+1)+(m-n+3)=0$$$$\hspace{ 23 pt}m+n+1+m-n+3=0$$$$\hspace{ 94 pt}2m+4=0$$移項して、両辺を \(2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}2m=-4$$$$\hspace{ 16 pt}m=-2$$
これを①に代入すると、$$~~~-2+n+1=0$$$$\hspace{ 37 pt}n-1=0$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}n=1$$
したがって、\(l=4~,~m=-2~,~n=1\) となるので、求める円の方程式は、$$~~~x^2+y^3+4x-2y+1=0$$となります。

 

今回のまとめ

点が与えられた場合の円の方程式の求め方は、直径の両端のときは中心と半径を求めましょう。また、3点を通るときは連立方程式を利用して求めましょう。

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