円の方程式を表す条件の解法
Point：円の方程式を表す条件・円の方程式を表す条件
次の方程式において、$$~~~(x-a)^2+(y-b)^2=k$$
( ⅰ ) \(k>0\) のとき、
この方程式は円を表し、中心 \((a,b)\) で半径 \(\sqrt{k}\) となります。
( ⅱ ) \(k=0\) のとき、$$~~~(x-a)^2+(y-b)^2=k$$となり、\(x=a\) かつ \(y=b\) となるので、$$~~~(x,y)=(a,b)$$よって、この方程式は点 \((a,b)\) を表します。
( ⅲ ) \(k<0\) のとき、
方程式が表す図形はありません。
次の方程式において、$$~~~(x-a)^2+(y-b)^2=k$$
( ⅰ ) \(k>0\) のとき、
この方程式は円を表し、中心 \((a,b)\) で半径 \(\sqrt{k}\) となります。
( ⅱ ) \(k=0\) のとき、$$~~~(x-a)^2+(y-b)^2=k$$となり、\(x=a\) かつ \(y=b\) となるので、$$~~~(x,y)=(a,b)$$よって、この方程式は点 \((a,b)\) を表します。
( ⅲ ) \(k<0\) のとき、
方程式が表す図形はありません。
問題解説：円の方程式を表す条件
問題次の方程式が円の方程式を表すような、実数 \(k\) の値の範囲を求めよ。$$~~~x^2+y^2+4x-2y+k+3=0$$
$$~~~x^2+y^2+4x-2y+k+3=0$$\(x,y\) のそれぞれについて整理して平方完成すると、$$\hspace{ 10 pt}x^2+4x+y^2-2y+k+3=0$$$$\hspace{ 10 pt}(x^2+4x+4)-4$$$$\hspace{20pt}+(y^2-2y+1)-1+k+3=0$$$$\hspace{ 20 pt}(x+2)^2+(y-1)^2+k-2=0$$$$\hspace{ 56 pt}(x+2)^2+(y-1)^2=-k+2$$この方程式が円を表すので、$$~~~-k+2>0$$$$\hspace{ 30 pt}-k>-2$$両辺に \(-1\) をかけると、不等号の向きが逆になるので、$$\hspace{ 10 pt}k<2$$よって、答えは \(k<2\) となります。
今回のまとめ
円の方程式を表す条件 \(k>0\) と合わせて、\(k=0\) のときは点を表すことも覚えておきましょう。
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