動点を含む軌跡の解法
① 求める軌跡の点を \((x,y)\) として、別の動点を \((s,t)\) とします。
② 条件より条件式を作ります。
③ 条件式を連立するとき、\(s,t\) を消去して \(x,y\) だけの式となるように計算します。
④ \(x,y\) だけの式を図形を表す方程式にします。
⑤ 逆に、その図形の方程式がすべての条件の点を満たすことを確かめます。
手順⑤に関しては、定型文として書くことを覚えておきましょう。
問題解説：軌跡②（動点を含む）
点 \(P\) を \((x,y)\) として、点 \(Q\) を \((s,t)\) とします。点 \(Q\) は放物線 \(y=x^2+1\) 上にあることより、$$~~~t=s^2+1~\cdots{\large ①}$$
次に点 \(A(2,-3)\) と点 \(Q(s,t)\) の中点が \(P(x,y)\) となるので、公式より、$$~~~(x,y)=\left( \frac{2+s}{2}~,~\frac{-3+t}{2} \right)$$
\(x\) 座標は、$$~~~x=\frac{2+s}{2}$$両辺に \(2\) をかけると、$$\hspace{ 10 pt}2x=2+s$$両辺を入れ替えて、移項すると、$$\hspace{ 10 pt}2+s=2x$$$$\hspace{ 28 pt}s=2x-2~\cdots{\large ②}$$
\(y\) 座標は、$$~~~y=\frac{-3+t}{2}$$両辺に \(2\) をかけると、$$\hspace{ 10 pt}2y=-3+t$$両辺を入れ替えて、移項すると、$$\hspace{ 10 pt}-3+t=2y$$$$\hspace{ 35 pt}t=2y+3~\cdots{\large ③}$$
これより、①の式に②と③を代入すると、$$\hspace{10pt}2y+3=(2x-2)^2+1$$$$\hspace{ 10 pt}2y+3=4x^2-8x+4+1$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}2y=4x^2-8x+4+1-3$$$$\hspace{ 10 pt}2y=4x^2-8x+2$$両辺を \(2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}y=2x^2-4x+1~\cdots{\large ④}$$
したがって、条件を満たす点は放物線④上にあります。
また、逆にこの放物線上のすべての点は条件を満たします。
よって、求める軌跡は、放物線\(y=2x^2-4x+1\) となります。
今回のまとめ
動点が複数ある軌跡の問題は、どちらの点が軌跡の点となるかを確認しましょう。また、計算では \(x,y\) だけの式になるように計算していきましょう。
