積の形の連立不等式の表す領域の解法
２つの式の積が正となるので、２つの式が同符号であればよい。
または、
② \(P\cdot Q<0\) のとき、
２つの式の積が負となるので、２つの式が異符号であればよい。
または、
問題解説：連立不等式の表す領域②（積の形）
問題解説(1)
２つの式の積が負となるので、２つの式が異符号であればよい。
( ⅰ ) $$~~~\biggl\{ \begin{eqnarray} ~2x-1>0~\cdots{\large ①} \\ ~x+2y-4<0~\cdots{\large ②}\end{eqnarray}$$①より、$$~~~2x-1>0$$$$\hspace{ 24 pt}2x>1$$両辺を \(2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}x>\frac{1}{2}$$よって、直線 \(x={\Large \frac{1}{2}}\) の右側部分となります。
②より、$$~~~x+2y-4<0$$移項して、両辺を \(2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}2y<-x+4$$$$\hspace{ 15 pt}y<-\frac{1}{2}x+2$$よって、直線 \(y=-{\Large \frac{1}{2}}x+2\) の下側部分となります。
これらの共通部分は次の図の斜線部分となります。
( ⅱ ) $$~~~\biggl\{ \begin{eqnarray} ~2x-1<0~\cdots{\large ③} \\ ~x+2y-4>0~\cdots{\large ④}\end{eqnarray}$$
③より、$$~~~x<\frac{1}{2}$$よって、直線 \(x={\Large \frac{1}{2}}\) の左側部分となります。
④より、$$~~~y>-\frac{1}{2}x+2$$よって、直線 \(y=-{\Large \frac{1}{2}}x+2\) の上側部分となります。
これらの共通部分は次の図の斜線部分となります。
したがって、求める領域は、( ⅰ )または( ⅱ )となるので、
上の図の斜線部分となり、境界線は含みません。
問題解説(2)
２つの式の積が正となるので、２つの式が同符号であればよい。
( ⅰ ) $$~~~\biggl\{ \begin{eqnarray} ~x^2+y^2-1>0~\cdots{\large ①} \\ ~x+y>0~\cdots{\large ②}\end{eqnarray}$$①より、$$~~~x^2+y^2-1>0$$$$\hspace{ 24 pt}x^2+y^2>1$$よって、円 \(x^2+y^2=1\) の外側部分となります。
②より、$$~~~x+y>0$$$$\hspace{ 26 pt}y>-x$$よって、直線 \(y=-x\) の上側部分となります。
これらの共通部分は次の図の斜線部分となります。
( ⅱ ) $$~~~\biggl\{ \begin{eqnarray} ~x^2+y^2-1<0~\cdots{\large ③} \\ ~x+y<0~\cdots{\large ④}\end{eqnarray}$$③より、$$~~~x^2+y^2-1<0$$$$\hspace{ 24 pt}x^2+y^2<1$$よって、円 \(x^2+y^2=1\) の内側部分となります。
④より、$$~~~x+y<0$$$$\hspace{ 26 pt}y<-x$$よって、直線 \(y=-x\) の下側部分となります。
これらの共通部分は次の図の斜線部分となります。
したがって、求める領域は、( ⅰ )または( ⅱ )となるので、
上の図の斜線部分となり、境界線は含みません。
今回のまとめ
積の形となっている連立不等式の表す領域は、不等号の向きによって条件が変わります。それぞれの条件を理解して覚えておきましょう。
