無限等比級数

2018.04.252020.06.09

無限等比級数の解法
問題解説：無限等比級数
今回のまとめ

無限等比級数の解法

Point：無限等比級数無限等比数列の初項 $a$、公比 $r$ の値で解法が変わるので、まずは初項と公比を確認しましょう。

① $a=0$ のとき、$r$ の値に関係なくすべての項が $0$ となるので、

$$\sum_{n=1}^{\infty}a\cdot r^{n-1}=0$$

② $a\neq0~,~|r|<1$ のとき、
部分和 $S_n$ は等比数列の和の公式より、$$~~~S_n= \frac{a(1-r^n)}{1-r}$$これより、部分和の極限が無限級数の和より、$$~~~\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$ここで、$|r|<1$ より $n\to\infty$ のとき $r^n\to 0$ となります。よって、

$$\sum_{n=1}^{\infty}a\cdot r^{n-1}=\frac{a}{\,1-r\,}$$

③ $a\neq0~,~|r|≧1$ のとき、$$~~~\sum_{n=1}^{\infty}a\cdot r^{n-1}$$このとき、発散します。

問題解説：無限等比級数

問題解説(1)

問題次の無限級数の収束・発散を調べ収束する場合はその和を求めよ。$${\small (1)}~\sum_{n=1}^{\infty}2\cdot3^{n-1}$$

初項が $2(\neq0)$、公比が $3>1$ となるので、この無限級数は発散します。

問題解説(2)

問題次の無限級数の収束・発散を調べ収束する場合はその和を求めよ。$${\small (2)}~\sum_{n=1}^{\infty}2\cdot\left(\frac{1}{\,3\,}\right)^{n-1}$$

初項が $2(\neq0)$、公比が $-1<{\Large \frac{1}{\,3\,}}<1$ となるので、この無限級数は収束します。
よって、その和は公式より、$$~~~~~~\frac{2}{1-{\Large \frac{1}{3}}}$$分母分子に $3$ をかけると、$$~=\frac{2\times3}{\left(1-{\Large \frac{1}{3}}\right)\times3}$$$$~=\frac{6}{3-1}$$$$~=\frac{6}{2}=3$$したがって、無限級数の和は $3$ となります。

問題解説(3)

問題次の無限級数の収束・発散を調べ収束する場合はその和を求めよ。$${\small (3)}~3-3+3-3+\cdots$$

初項が $3(\neq0)$、公比が $-1$ となるので、この無限級数は発散します。

問題解説(4)

問題次の無限級数の収束・発散を調べ収束する場合はその和を求めよ。$${\small (4)}~\left(\sqrt{3}+1\right)+2+2\left(\sqrt{3}-1\right)+\cdots$$

この数列の第３項と第２項のわり算より、$$~~~r=\frac{a_3}{a_2}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{2}=\sqrt{3}-1$$よって、初項が $\sqrt{3}+1$、公比が $\sqrt{3}-1$ で、$$~~~-1<\sqrt{3}-1<1$$であるので、この無限級数は収束します。
よって、その和は公式より、$$~~~~~~\frac{\sqrt{3}+1}{1-(\sqrt{3}-1)}$$$$~=\frac{\sqrt{3}+1}{2-\sqrt{3}}$$分母分子に $2+\sqrt{3}$ をかけると、$$~=\frac{\sqrt{3}+1}{2-\sqrt{3}}\times \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$$$~=\frac{2\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2+2+\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt{3})^2}$$$$~=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{3}+3+2}{4-3}$$$$~=3\sqrt{3}+5$$したがって、無限級数の和は $3\sqrt{3}+5$ となります。

問題解説(5)

問題次の無限級数の収束・発散を調べ収束する場合はその和を求めよ。$${\small (5)}~\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\,1-2^n\,}{3^n}\right)$$

$$~~~~~~\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\,1-2^n\,}{3^n}\right)$$$$~=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3^n}-\frac{2^n}{3^n}\right)$$$$~=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^n -\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n$$前半部分は、初項が ${\Large \frac{1}{\,3\,}}$、公比が ${\Large \frac{1}{\,3\,}}$ であり、
また、後半部分は初項が ${\Large \frac{2}{\,3\,}}$、公比が ${\Large \frac{2}{\,3\,}}$ であるので、それぞれ公式を用いると、$$~=\frac{{\Large \frac{1}{3}}}{1-{\Large \frac{1}{3}}}-\frac{{\Large \frac{2}{3}}}{1-{\Large \frac{2}{3}}}$$それぞれの分母分子に $3$ をかけると、$$~=\frac{{\Large \frac{1}{3}}\times 3}{\left(1-{\Large \frac{1}{3}}\right)\times3}-\frac{{\Large \frac{2}{3}}\times 3}{\left(1-{\Large \frac{2}{3}}\right)\times3}$$$$~=\frac{1}{3-1}-\frac{2}{3-2}$$$$~=\frac{1}{2}-2$$$$~=\frac{1}{2}-\frac{4}{2}$$$$~=-\frac{\,3\,}{2}$$よって、無限級数の和は $-{\Large \frac{\,3\,}{2}}$ となります。