オンライン家庭教師生徒募集中!詳しくはこちらから!

無限等比級数

スポンサーリンク
スポンサーリンク

無限等比級数の解法

Point:無限等比級数無限等比数列の初項 \(a\)、公比 \(r\) の値で解法が変わるので、まずは初項と公比を確認しましょう。
 
\(a=0\) のとき、\(r\) の値に関係なくすべての項が \(0\) となるので、

$$\sum_{n=1}^{\infty}a\cdot r^{n-1}=0$$

 
\(a\neq0~,~|r|<1\) のとき
部分和 \(S_n\) は等比数列の和の公式より、$$~~~S_n= \frac{a(1-r^n)}{1-r}$$これより、部分和の極限が無限級数の和より、$$~~~\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$ここで、\(|r|<1\) より \(n\to\infty\) のとき \(r^n\to 0\) となります。よって、

$$\sum_{n=1}^{\infty}a\cdot r^{n-1}=\frac{a}{\,1-r\,}$$

 
\(a\neq0~,~|r|≧1\) のとき、$$~~~\sum_{n=1}^{\infty}a\cdot r^{n-1}$$このとき、発散します。

 

問題解説:無限等比級数

問題解説(1)

問題次の無限級数の収束・発散を調べ収束する場合はその和を求めよ。$${\small (1)}~\sum_{n=1}^{\infty}2\cdot3^{n-1}$$

初項が \(2(\neq0)\)、公比が \(3>1\) となるので、この無限級数は発散します。

 

問題解説(2)

問題次の無限級数の収束・発散を調べ収束する場合はその和を求めよ。$${\small (2)}~\sum_{n=1}^{\infty}2\cdot\left(\frac{1}{\,3\,}\right)^{n-1}$$

初項が \(2(\neq0)\)、公比が \(-1<{\Large \frac{1}{\,3\,}}<1\) となるので、この無限級数は収束します。
よって、その和は公式より、$$~~~~~~\frac{2}{1-{\Large \frac{1}{3}}}$$分母分子に \(3\) をかけると、$$~=\frac{2\times3}{\left(1-{\Large \frac{1}{3}}\right)\times3}$$$$~=\frac{6}{3-1}$$$$~=\frac{6}{2}=3$$したがって、無限級数の和は \(3\) となります。

 

問題解説(3)

問題次の無限級数の収束・発散を調べ収束する場合はその和を求めよ。$${\small (3)}~3-3+3-3+\cdots$$

初項が \(3(\neq0)\)、公比が \(-1\) となるので、この無限級数は発散します。

 

問題解説(4)

問題次の無限級数の収束・発散を調べ収束する場合はその和を求めよ。$${\small (4)}~\left(\sqrt{3}+1\right)+2+2\left(\sqrt{3}-1\right)+\cdots$$

この数列の第3項と第2項のわり算より、$$~~~r=\frac{a_3}{a_2}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{2}=\sqrt{3}-1$$よって、初項が \(\sqrt{3}+1\)、公比が \(\sqrt{3}-1\) で、$$~~~-1<\sqrt{3}-1<1$$であるので、この無限級数は収束します。
よって、その和は公式より、$$~~~~~~\frac{\sqrt{3}+1}{1-(\sqrt{3}-1)}$$$$~=\frac{\sqrt{3}+1}{2-\sqrt{3}}$$分母分子に \(2+\sqrt{3}\) をかけると、$$~=\frac{\sqrt{3}+1}{2-\sqrt{3}}\times \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$$$~=\frac{2\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2+2+\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt{3})^2}$$$$~=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{3}+3+2}{4-3}$$$$~=3\sqrt{3}+5$$したがって、無限級数の和は \(3\sqrt{3}+5\) となります。

 

問題解説(5)

問題次の無限級数の収束・発散を調べ収束する場合はその和を求めよ。$${\small (5)}~\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\,1-2^n\,}{3^n}\right)$$

$$~~~~~~\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\,1-2^n\,}{3^n}\right)$$$$~=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3^n}-\frac{2^n}{3^n}\right)$$$$~=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^n -\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n$$前半部分は、初項が \({\Large \frac{1}{\,3\,}}\)、公比が \({\Large \frac{1}{\,3\,}}\) であり、
また、後半部分は初項が \({\Large \frac{2}{\,3\,}}\)、公比が \({\Large \frac{2}{\,3\,}}\) であるので、それぞれ公式を用いると、$$~=\frac{{\Large \frac{1}{3}}}{1-{\Large \frac{1}{3}}}-\frac{{\Large \frac{2}{3}}}{1-{\Large \frac{2}{3}}}$$それぞれの分母分子に \(3\) をかけると、$$~=\frac{{\Large \frac{1}{3}}\times 3}{\left(1-{\Large \frac{1}{3}}\right)\times3}-\frac{{\Large \frac{2}{3}}\times 3}{\left(1-{\Large \frac{2}{3}}\right)\times3}$$$$~=\frac{1}{3-1}-\frac{2}{3-2}$$$$~=\frac{1}{2}-2$$$$~=\frac{1}{2}-\frac{4}{2}$$$$~=-\frac{\,3\,}{2}$$よって、無限級数の和は \(-{\Large \frac{\,3\,}{2}}\) となります。

 

今回のまとめ

無限等比級数の和の求め方は、まず初項と公比の値を確認します。また、\(|r|<1\) のときの和の公式は覚えておきましょう。

【問題一覧】数学Ⅲ:数列の極限
このページは「高校数学Ⅲ:数列の極限」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないとき...