Twitterフォローよろしくお願いします!

無理関数の極限②

スポンサーリンク
スポンサーリンク

今回の問題は「無理関数の極限②」です。

問題次の極限を求めよ。$${\small (1)}~\lim_{x\to\infty}\frac{3x-2}{\sqrt{x^2+1}}$$$${\small (2)}~\lim_{x\to -2}\frac{\sqrt{x+3}-1}{x+2}$$$${\small (3)}~\lim_{x\to 3}\frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}$$

 

スポンサーリンク
スポンサーリンク

無理関数の極限の解法

Point:平方根を含む極限の不定形平方根を含む極限の不定形は、

$${\large ①}~\infty-\infty~$$

分子を有理化すると解消できることが多いです。
 

$${\large ②}~\frac{\infty}{\infty}~$$

分母の最高次数の項で、分母分子のすべての項を割ると解消できることが多いです。
 

$${\large ③}~\frac{0}{0}~$$

分母または分子を有理化すると解消できることが多いです。

 

問題解説:無理関数の極限②

問題解説(1)

問題次の極限を求めよ。$${\small (1)}~\lim_{x\to\infty}\frac{3x-2}{\sqrt{x^2+1}}$$

$$~~~~~~\lim_{x\to\infty}\frac{3x-2}{\sqrt{x^2+1}}$$このままだと、\({\Large \frac{\infty}{\infty}}\) の不定形となります。
分母の最大次数の項 \(x\) で分母分子のすべての項を割ると、$$~=\lim_{x\to\infty}\frac{ {\Large \frac{3x}{x}} – {\Large \frac{2}{x}} } { {\Large \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}}}$$$$~=\lim_{x\to\infty}\frac{3-{\Large \frac{2}{x}}}{\sqrt{ {\Large \frac{x^2+1}{x^2}} }}$$$$~=\lim_{x\to\infty}\frac{3-{\Large \frac{2}{x}} } {\sqrt{1+{\Large \frac{1}{x^2}}}}$$ここで、\(x\to\infty\) のとき \({\Large \frac{1}{x}}\to0~,~{\Large \frac{1}{x^2}}\to0\) となるので、$$~=\frac{3-0}{\sqrt{1+0}}$$$$~=3$$よって、答えは \(3\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の極限を求めよ。$${\small (2)}~\lim_{x\to -2}\frac{\sqrt{x+3}-1}{x+2}$$

$$~~~~~~\lim_{x\to -2}\frac{\sqrt{x+3}-1}{x+2}$$このままだと、\({\Large \frac{0}{0}}\) の不定形となります。
分母分子に \(\sqrt{x+3}+1\) をかけると、$$~=\lim_{x\to -2}\frac{\sqrt{x+3}-1}{x+2}\times\frac{\sqrt{x+3}+1}{\sqrt{x+3}+1}$$$$~=\lim_{x\to -2}\frac{(\sqrt{x+3})^2-1^2}{(x+2)(\sqrt{x+3}+1)}$$$$~=\lim_{x\to -2}\frac{(x+3)-1}{(x+2)(\sqrt{x+3}+1)}$$$$~=\lim_{x\to -2}\frac{x+2}{(x+2)(\sqrt{x+3}+1)}$$\(x+2\) を約分すると、$$~=\lim_{x\to -2}\frac{1}{\sqrt{x+3}+1}$$$$~=\frac{1}{\sqrt{-2+3}+1}$$$$~=\frac{1}{\sqrt{1}+1}$$$$~=\frac{1}{2}$$よって、答えは \({\Large \frac{1}{2}}\) となります。

 

問題解説(3)

問題次の極限を求めよ。$${\small (3)}~\lim_{x\to 3}\frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}$$

$$~~~~~~\lim_{x\to 3}\frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}$$このままだと、\({\Large \frac{0}{0}}\) の不定形となります。
分母分子に \(\sqrt{x}+\sqrt{3}\) をかけると、$$~=\lim_{x\to 3}\frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{x}+\sqrt{3}}{\sqrt{x}+\sqrt{3}}$$$$~=\lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(\sqrt{x}+\sqrt{3})}{(\sqrt{x})^2-(\sqrt{3})^2}$$$$~=\lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(\sqrt{x}+\sqrt{3})}{x-3}$$\(x-3\) を約分すると、$$~=\lim_{x\to 3}(\sqrt{x}+\sqrt{3})$$$$~=\sqrt{3}+\sqrt{3}$$$$~=2\sqrt{3}$$よって、答えは \(2\sqrt{3}\) となります。

 

今回のまとめ

分数になっている形の無理関数の極限についめ見ていきました。それぞれの不定形の解消方法を覚えておきましょう。

【問題一覧】数学Ⅲ:関数の極限
このページは「高校数学Ⅲ:関数の極限」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからない...