曲線の方程式の微分の解法
このとき、\(y\) は \(x\) の関数であることより、
このように合成関数として「中の微分」を忘れないようにしましょう。
問題解説：曲線の方程式の微分
問題解説(1)
$$\hspace{ 10 pt}xy=9$$両辺を \(x\) で微分すると、左辺は積の微分より、$$\hspace{ 10 pt}(x)’y+x\cdot \frac{dy}{dx}=(3)’$$$$\hspace{ 26 pt}y+x \cdot \frac{dy}{dx}=0$$移項して、両辺を \(x\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}x \cdot \frac{dy}{dx}=-y$$$$\hspace{ 24 pt}\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}$$よって、答えは$$~~~\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}$$となります。
問題解説(2)
$$\hspace{ 10 pt}x^2+y^2=3$$両辺を \(x\) で微分すると、$$\hspace{ 15 pt}(x^2)’+\frac{dy^2}{dx}=(9)’$$$$\hspace{ 10 pt}2x+2y\cdot \frac{dy}{dx}=0$$移項して、両辺を \(2y\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}2y\frac{dy}{dx}=-2x$$$$\hspace{ 20 pt}\frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{2y}$$$$\hspace{ 20 pt}\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$$よって、答えは$$~~~\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$$となります。
問題解説(3)
$$\hspace{ 10 pt}25x^2-4y^2=9$$両辺を \(x\) で微分すると、$$\hspace{ 16 pt}(25x^2)’-\frac{d4y^2}{dx}=(9)’$$$$\hspace{ 10 pt}50x-2\cdot 4y \cdot \frac{dy}{dx}=0$$$$\hspace{ 30 pt}50x-8y\frac{dy}{dx}=0$$移項して、両辺を \(-8y\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}-8y\frac{dy}{dx}=-50x$$$$\hspace{ 28 pt}\frac{dy}{dx}=\frac{-50x}{-8y}$$$$\hspace{ 28 pt}\frac{dy}{dx}=\frac{25x}{4y}$$よって、答えは$$~~~\frac{dy}{dx}=\frac{25x}{4y}$$となります。
今回のまとめ
曲線の方程式の微分は、両辺を微分する方法を覚えておきましょう。また、微分するときは合成関数の微分を忘れないようにしましょう。
