媒介変数表示と微分の解法
これより、\({\Large \frac{dy}{dx}}\) を求めます。
問題解説：媒介変数表示と微分
問題解説(1)
$$~~~\biggl\{ \begin{eqnarray} ~x=t+2~\cdots① \\ ~y=2t^2-3t~\cdots②\end{eqnarray}$$①の式を \(t\) で微分すると、$$\hspace{ 10 pt}\frac{dx}{dt}=1~\cdots③$$②の式を \(t\) で微分すると、$$\hspace{ 10 pt}\frac{dy}{dt}=2\cdot 2t^{2-1}-3$$$$\hspace{ 27 pt}=4t-3~\cdots④$$③と④の式より、$$\hspace{ 10 pt}\frac{dy}{dx}=\frac{{\Large \frac{dy}{dt}}}{{\Large \frac{dx}{dt}}}$$$$\hspace{ 27 pt}=\frac{4t-3}{1}$$$$\hspace{ 27 pt}=4t-3$$よって、答えは$$~~~\frac{dy}{dx}=4t-3$$となります。
問題解説(2)
$$~~~\biggl\{ \begin{eqnarray} ~x=\sqrt{t-1} ~\cdots① \\ ~y=(3t-1)^2 ~\cdots② \end{eqnarray}$$①の式を \(t\) で微分すると、$$\hspace{ 10 pt}\frac{dx}{dt}=(\sqrt{t-1})’$$$$\hspace{ 27 pt}=\{ (t-1)^{\frac{1}{2}} \}’$$$$\hspace{ 27 pt}=\frac{1}{2}\cdot (t-1)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (t-1)′$$$$\hspace{ 27 pt}=\frac{1}{2}(t-1)^{-\frac{1}{2}}\cdot 1$$$$\hspace{ 27 pt}=\frac{1}{2(t-1)^{\frac{1}{2}}}$$$$\hspace{ 27 pt}=\frac{1}{2\sqrt{t-1}}~\cdots③$$②を \(t\) で微分すると、$$\hspace{ 10 pt}\frac{dy}{dt}=\{ (3t-1)^2 \}’$$$$\hspace{ 27 pt}=2\cdot (3t-1)^{2-1} \cdot (3t-1)’$$$$\hspace{ 27 pt}=2(3t-1)\cdot 3$$$$\hspace{ 27 pt}=6(3t-1)~\cdots④$$③と④の式より、$$\hspace{ 10 pt}\frac{dy}{dx}=\frac{{\Large \frac{dy}{dt}}}{{\Large \frac{dx}{dt}}}$$$$\hspace{ 27 pt}=\frac{6(3t-1)}{{\Large \frac{1}{2\sqrt{t-1}}}}$$分母分子に \(2\sqrt{t-1}\) をかけると、$$\hspace{ 27 pt}=\frac{6(3t-1)\times(2\sqrt{t-1})}{{\Large \frac{1}{2\sqrt{t-1}}}\times(2\sqrt{t-1})}$$$$\hspace{ 27 pt}=12(3t-1)\sqrt{t-1}$$よって、答えは$$~~~\frac{dy}{dx}=12(3t-1)\sqrt{t-1}$$となります。
今回のまとめ
媒介変数表示された関数の微分は、それぞれを微分した式より求める手順を覚えておきましょう。
