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三角関数の積分②

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今回の問題は「三角関数の積分②」です。

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int\frac{\sin^2{x}}{1-\cos{x}}dx$$$${\small (2)}~\int\frac{2\cos^2{x}+3}{1-\sin^2{x}}dx$$$${\small (3)}~\int\tan^2{x}dx$$

 

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式変形の必要な三角関数の積分

Point:式変形の必要な三角関数の積分式変形の目標は、公式の使える形なので、
 \(\sin{x},\cos{x}\) の1次式
または、$$~~~\frac{1}{\sin^2{x}}~,~\frac{1}{\cos^2{x}}$$などの式にしましょう。
 
(1) 相互関係の公式より、

$$\sin^2{x}=1-\cos^2{x}$$

または、

$$\cos^2{x}=1-\sin^2{x}$$

これらを用いて、積分できる式に変形しましょう。
 
(2) 相互関係の公式より、

$$\tan^2{x}=\frac{1}{\cos^2{x}}-1$$

この式を用いて、\(\tan^2{x}\) を積分できる式に変形しましょう。
 

問題解説:三角関数の積分②

問題解説(1)

問題

次の不定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int\frac{\sin^2{x}}{1-\cos{x}}dx$$

$$~~~~~~\int \frac{\sin^2{x}}{1-\cos{x}}dx$$\(\sin^2{x}=1-\cos^2{x}\) より、$$~=\int \frac{1-\cos^2{x}}{1-\cos{x}}dx$$分子を因数分解すると、$$~=\int \frac{(1+\cos{x})(1-\cos{x})}{1-\cos{x}}dx$$約分すると、$$~=\int (1+\cos{x})dx$$$$~=\int dx +\int \cos{x} dx$$$$~=x+\sin{x}+C$$よって、答えは \(C\) を積分定数として、$$~~~ x+\sin{x}+C$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (2)}~\int\frac{2\cos^2{x}+3}{1-\sin^2{x}}dx$$

$$~~~~~~ \int\frac{2\cos^2{x}+3}{1-\sin^2{x}}dx$$\(1-\sin^2{x}=\cos^2{x}\) より、$$~=\int\frac{2\cos^2{x}+3}{\cos^2{x}}dx$$分子の各項を分けると、$$~= \int \left( \frac{2\cos^2{x}}{\cos^2{x}}+ \frac{3}{\cos^2{x}}\right) dx$$$$~=\int \left( 2+ \frac{3}{\cos^2{x}}\right) dx$$$$~=\int 2 dx+3\int \frac{1}{\cos^2{x}}dx$$$$~=2x+3\tan{x}+C$$よって、答えは \(C\) を積分定数として、$$~~~ 2x+3\tan{x}+C $$となります。

 

問題解説(3)

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (3)}~\int\tan^2{x}dx$$

$$~~~~~~ \int\tan^2{x}dx$$相互関係の公式より、$$~=\int \left( \frac{1}{\cos^2{x}}-1 \right)dx$$$$~=\int\frac{1}{\cos^2{x}}-\int dx$$$$~=\tan{x}-x+C$$よって、答えは \(C\) を積分定数として、$$~~~ \tan{x}-x+C $$となります。

 

今回のまとめ

三角関数の積分でそのままでは計算できないときは、三角関数の相互関係の公式を用いて積分できる形変形して計算していきましょう。

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