３つのグループに分ける方法
「３つの部屋Ａ、Ｂ、Ｃに分ける」ときや「人数にバラバラで区別できる」ときは３つの箱を描きそれぞれの箱に入れる組合せを考えて、積の法則より場合の数を求めましょう。
・グループに区別がない
「すべてのグループに同じ人数が入る」ときは、グループに区別がありません。
このときは、
① グループに区別があると考えて場合の数を計算します。
② この場合の数を(グループの数)！で割ります。
※区別がないグループの数の階乗で割ると覚えておきましょう。
問題解説：３つのグループに分ける
問題解説(1)
\({\small (1)}~\)３人ずつA、B、Cの３部屋に分ける
この問題ではA、B、Cの３部屋とあるのでグループに区別があります。ですので、A、B、Cの３つの箱を考えて１部屋ずつ場合の数を考えていきましょう。
Aの部屋には９人の中から３人を選んで入るので計算式は \( {}_{9}{\rm C}_{3} \) となる
Bの部屋にはAに入った３人以外の６人から３人を選んで入るので計算式は \( {}_{6}{\rm C}_{3} \) となる
Cの部屋には残りの３人から３人を選んで入るので計算式は \( {}_{3}{\rm C}_{3} \) となる
これらは「連続して起こる」ので積の法則より$$~~~~~{}_{9}{\rm C}_{3} \times {}_{6}{\rm C}_{3} \times {}_{3}{\rm C}_{3}$$$$~ =\frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times 1=1680$$よって、答えは1680通りとなります。
問題解説(2)
\({\small (2)}~\)３人ずつ３組に分ける
次の問題では３人ずつ３組に分けるだけですのでグループに区別がありません。
ですのでまずはグループに区別があると考えて計算をし、その後で(グループの数)！で割る必要があります。
グループに区別があるときは、(1)と同じになるので1680通りとなります。また、３つの区別ができないグループに分けるので \( 3! \) で割ると計算式は、$$~~~1680 \div 3! = \frac{1680}{3\times 2\times 1}=280$$よって、答えは280通りとなります。
問題解説(3)
\({\small (3)}~\)４人、３人、２人に分ける
この問題は分けるだけで区別はついていません、しかし、４人、３人、２人に分けると人数に違いが出ているので区別がついていると同じ事となります。
よって、９人から４人を選ぶ組合せは \( {}_{9}{\rm C}_{4} \) となる
次に、残りの５人から３人を選ぶ組合せは \( {}_{5}{\rm C}_{3} \) となる
次に、残りの２人から２人を選ぶ組合せは \( {}_{2}{\rm C}_{2} \) となる
これらは「連続して起こる」ので積の法則より$$~~~~~{}_{9}{\rm C}_{4} \times {}_{5}{\rm C}_{3} \times {}_{2}{\rm C}_{2} $$$$~=\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} \times 1=1260$$よって、答えは1260通りとなります。
今回のまとめ
３つのグループに分ける問題を見ていきました。グループに区別があるかどうかの判断をして解法を選択できるようになりましょう。また、グループに区別がないときでも、人数に差がある場合は区別があると考えましょう。
