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◯勝先取の確率

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問題解説:○勝先取の確率

問題AとBが試合をし、先に3勝した方が優勝とする。Aが勝つ確率が {\Large \frac{3}{4}} のとき、Aが優勝する確率を求めよ。

まずはAチームが優勝するパターンを考えましょう。先に3勝すれば良いので、
 (ⅰ) Aが3勝
 (ⅱ) Aが3勝1敗
 (ⅲ) Aが3勝2敗
の3つのパターンに分けられます。
また、Aが勝つ確率は {\Large \frac{3}{4}} で、負ける確率は {\Large \frac{1}{4}} となります。
 
(ⅰ)Aが3勝となるとき
3回試合をして、3回ともAが勝つので求める確率は、~~~\left(\frac{3}{4}\right)^3=\frac{27}{64}よって、 {\Large \frac{27}{64}} となります。
 
(ⅱ)Aが3勝1敗となるとき
ここで間違えやすいのがAは最後の4試合目は必ず勝つということです。もし勝つチームが「AAAB」となると3試合目でAの優勝が決まってしまいます。
よって、3試合目までと4試合目を別にして考えましょう。
3試合目までは反復試行の確率となり、3試合中2回Aが勝つので

となるので計算式は、~~~~~~{}_{3} {\rm C}_{2}\times \left(\frac{3}{4}\right)^2 \times \frac{1}{4}~=\frac{3\times2}{2\times1}\times \frac{9}{16} \times \frac{1}{4}~ =3\times \frac{9}{64}~=\frac{27}{64}よって、 {\Large \frac{27}{64}} となります。
また、4試合目はAが勝つので確率は {\Large \frac{3}{4}} となります。
これらは「連続して起こる」ので積の法則より~~~\frac{27}{64}\times\frac{3}{4}=\frac{81}{256}求める確率は {\Large \frac{81}{256}} となります。

(ⅲ)Aが3勝2敗となるとき
ここでも、全5試合して5試合目は必ずAが勝ちます。よって、4試合目までと5試合目を別に考えましょう。
4試合目までは反復試行の確率となり、4試合中2回Aが勝つので

となるので計算式は、~~~~~~{}_{4} {\rm C}_{2}\times \left(\frac{3}{4}\right)^2 \times \left(\frac{1}{4}\right)^2~=\frac{4\times3}{2\times1}\times \frac{9}{16} \times \frac{1}{16}~ =6\times \frac{9}{256}~=\frac{27}{128}よって、 {\Large \frac{27}{128}} となります。
また、5試合目はAが勝つので確率は {\Large \frac{3}{4}} となります。
これらは「連続して起こる」ので積の法則より~~~\frac{27}{128}\times\frac{3}{4}=\frac{81}{512}求める確率は {\Large \frac{81}{512}} となります。
 
以上より求める確率は、これらが「同時に起こらない」ので和の法則より、~~~~~~\frac{27}{64}+\frac{81}{256}+\frac{81}{512}~=\frac{216}{512}+\frac{162}{512}+\frac{81}{512}~=\frac{459}{512}答えは、 {\Large \frac{459}{512}} となります。

 

今回のまとめ

いかがでしょうか?今回の問題のように◯勝先取のパターンはそのまま反復試行の確率が使えないので注意が必要です!最後の試合は必ず優勝するチームが勝つことを忘れないようにしましょう。

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