問題解説：○勝先取の確率
まずはＡチームが優勝するパターンを考えましょう。先に３勝すれば良いので、
(ⅰ) Ａが３勝
(ⅱ) Ａが３勝１敗
(ⅲ) Ａが３勝２敗
の３つのパターンに分けられます。
また、Ａが勝つ確率は \( {\Large \frac{3}{4}} \) で、負ける確率は \( {\Large \frac{1}{4}} \) となります。
(ⅰ)Ａが３勝となるとき
３回試合をして、３回ともＡが勝つので求める確率は、$$~~~\left(\frac{3}{4}\right)^3=\frac{27}{64}$$よって、 \( {\Large \frac{27}{64}} \) となります。
(ⅱ)Ａが３勝１敗となるとき
ここで間違えやすいのがＡは最後の４試合目は必ず勝つということです。もし勝つチームが「ＡＡＡＢ」となると３試合目でＡの優勝が決まってしまいます。
よって、３試合目までと４試合目を別にして考えましょう。
３試合目までは反復試行の確率となり、３試合中２回Ａが勝つので
となるので計算式は、$$~~~~~~{}_{3} {\rm C}_{2}\times \left(\frac{3}{4}\right)^2 \times \frac{1}{4}$$$$~=\frac{3\times2}{2\times1}\times \frac{9}{16} \times \frac{1}{4}$$$$~ =3\times \frac{9}{64}$$$$~=\frac{27}{64}$$よって、 \( {\Large \frac{27}{64}} \) となります。
また、４試合目はＡが勝つので確率は \( {\Large \frac{3}{4}} \) となります。
これらは「連続して起こる」ので積の法則より$$~~~\frac{27}{64}\times\frac{3}{4}=\frac{81}{256}$$求める確率は \( {\Large \frac{81}{256}} \) となります。
(ⅲ)Ａが３勝２敗となるとき
ここでも、全５試合して５試合目は必ずＡが勝ちます。よって、４試合目までと５試合目を別に考えましょう。
４試合目までは反復試行の確率となり、４試合中２回Ａが勝つので
となるので計算式は、$$~~~~~~{}_{4} {\rm C}_{2}\times \left(\frac{3}{4}\right)^2 \times \left(\frac{1}{4}\right)^2$$$$~=\frac{4\times3}{2\times1}\times \frac{9}{16} \times \frac{1}{16}$$$$~ =6\times \frac{9}{256}$$$$~=\frac{27}{128}$$よって、 \( {\Large \frac{27}{128}} \) となります。
また、５試合目はＡが勝つので確率は \( {\Large \frac{3}{4}} \) となります。
これらは「連続して起こる」ので積の法則より$$~~~\frac{27}{128}\times\frac{3}{4}=\frac{81}{512}$$求める確率は \( {\Large \frac{81}{512}} \) となります。
以上より求める確率は、これらが「同時に起こらない」ので和の法則より、$$~~~~~~\frac{27}{64}+\frac{81}{256}+\frac{81}{512}$$$$~=\frac{216}{512}+\frac{162}{512}+\frac{81}{512}$$$$~=\frac{459}{512}$$答えは、\( {\Large \frac{459}{512}} \) となります。
今回のまとめ
いかがでしょうか？今回の問題のように◯勝先取のパターンはそのまま反復試行の確率が使えないので注意が必要です！最後の試合は必ず優勝するチームが勝つことを忘れないようにしましょう。
