数列の基本と一般項
・項は最初の項から順に、「第１項」、「第２項」、「第３項」…といいます。
・「第１項」は「初項」ともいいます。
・上の数列のように、項が有限ならば「有限数列」といい、どこまでも続くときは「無限数列」といいます。
・有限数列の項の個数を「項数」といい、最後の項を「末項」といいます。
数列を一般的に表すと、$$~~~a_1~,~a_2~,~a_3~,~\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot ~,~a_n~,~\cdot \cdot \cdot$$この数列をまとめて、\(\{a_n\}\) と表します。また、第 \(n\) 項 \(a_n\) を「一般項」といいます。
数列の一般項を推定するには、項の番号と項を比較して考えましょう。
項の番号 \(\hspace{ 7 pt}{\small [1]}~~\hspace{ 10 pt}{\small [2]}~~\hspace{ 10 pt}{\small [3]}~\hspace{ 8 pt}~\cdot~\cdot~\cdot~\hspace{ 8 pt}{\small [n]}\)
項 \(\hspace{ 10 pt}a_1~~,~~a_2~~,~~a_3~,~~\cdot ~\cdot~ \cdot~~,~a_n\)
問題解説：数列の基本と一般項
問題解説(1)
\({\small (1)}\) 一般項が \(a_n=3n-1\) の数列 \(\{a_n\}\) の初項から第５項までを答えよ。
一般項 \(a_n=3n-1\) より、
\(n=1~,~2~,~3~,~4~,~5\) を順に代入すると、$$~~~a_1=3\cdot1-1=3-1=2$$$$~~~a_2=3\cdot2-1=6-1=5$$$$~~~a_3=3\cdot3-1=9-1=8$$$$~~~a_4=3\cdot4-1=12-1=11$$$$~~~a_5=3\cdot5-1=15-1=14$$よって、答えは$$~~~a_1=2~,~a_2=5~,~a_3=8$$$$~~~a_4=11~,~a_5=14$$となります。
問題解説(2)
\({\small (2)}\) 次の数列 \(\{a_n\}\) の一般項 \(a_n\) を推定せよ。
\(~{\large ①}~~3~,~5~,~7~,~9~,~11~,~\cdots\)
\(~{\large ②}~~-3~,~9~,-27~,~81~,-243~,~\cdots\)
①
\(\hspace{ 8 pt}{\small [1]}\hspace{ 11 pt}{\small [2]}\hspace{ 11 pt}{\small [3]}\hspace{ 11 pt}{\small [4]}\hspace{ 11 pt}{\small [5]}\hspace{ 14 pt}~\cdot~\cdot~\cdot\)
\(\hspace{ 10 pt}3~~,~~5~~,~~7~~,~~9~~,~~11~~,~~\cdot ~\cdot~ \cdot\)
これより、(項の番号)×２＋１＝(項)と推定できるので、$$~~~a_n=n\times2+1$$$$\hspace{ 22 pt}=2n+1$$よって、答えは \(2n+1\) となります。
②
\(\hspace{ 14 pt}{\small [1]}\hspace{ 13 pt}{\small [2]}\hspace{ 20 pt}{\small [3]}\hspace{ 18 pt}{\small [4]}\hspace{ 28 pt}{\small [5]}\hspace{ 18 pt}~\cdot~\cdot~\cdot\)
\(\hspace{ 10 pt}-3~~,~~9~~,~-27~~,~~81~~,~-243~~,~~\cdot ~\cdot~ \cdot\)
数値は３の累乗の値となり、正と負が交互になっていることより、(−３)(項の番号)＝(項)と推定できるので、$$~~~a_n=(-3)^n$$よって、答えは \((-3)^n\) となります。
今回のまとめ
数列についての用語は今後使いますのでしっかりと覚えておきましょう。また、一般項は項の番号との比較から推定しましょう。
