和の記号シグマと累乗の和の解法
この式は「\(a_k\) に \(k=1~,~2~,~3~,~\cdots\) と代入していき、\(k=n\) まで代入したすべての値を加えていった和」を表します。
自然数 \(n\) として、
自然数の２乗の和は、
自然数の３乗の和は、
問題解説：和の記号シグマと累乗の和
問題解説(1)
\({\small (1)}\) 次の数列の和を記号シグマを用いないで、各項を書き並べて表せ。また、その和を求めよ。$$~{\large ①}~\sum_{k=1}^{5} 2^k~~~~~~~~~~{\large ②}~\sum_{k=1}^{n}(5k-3)$$
問題①$$~~~~~~\sum_{k=1}^{5} 2^k$$$$~=2+2^2+2^3+2^4+2^5$$
この数列は初項 \(2\)、公比 \(2\)、項数 \(5\) の等比数列となるので、その和は、$$~=\frac{2(2^5-1)}{2-1}$$$$~=2(32-1)$$$$~=2\cdot31$$$$~=62$$よって、答えは \(62\) となります。
問題②$$~~~~~~\sum_{k=1}^{n}(5k-3)$$$$~=(5\cdot1-3)+(5\cdot2-3)$$$$\hspace{ 50 pt}+(5\cdot3-3)+\cdots+(5n-3)$$$$~=(5-3)+(10-3)$$$$\hspace{ 50 pt}+(15-3)+\cdots+(5n-3)$$$$~=2+7+12+\cdots+5n-3$$この数列は初項 \(2\)、末項 \(5n-3\)、項数 \(n\) の等差数列となるので、その和は、$$~=\frac{1}{2}n(2+5n-3)$$$$~=\frac{1}{2}n(5n-1)$$よって、答えは \({\Large \frac{1}{2}}n(5n-1)\) となります。
問題解説(2)
\({\small (2)}\) 次の数列を記号シグマを用いて表せ。また、その和を求めよ。$$~{\large ①}~1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2$$$$~{\large ②}~1^3+2^3+3^3+\cdots+10^3$$
問題①$$~~~1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2$$記号シグマを用いて表すと、$$~~~~~~\sum_{k=1}^{n}k^2$$となります。また、この数列の和は自然数の２乗の和の公式より、$$~=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$よって、答えは \({\Large \frac{1}{6}}n(n+1)(2n+1)\) となります。
問題②$$~~~1^3+2^3+3^3+\cdots+10^3$$記号シグマを用いて表すと、$$~~~~~~\sum_{k=1}^{10}k^3$$となります。また、この数列の和は自然数の３乗の和の公式より、$$~=\left\{ \frac{1}{2}\cdot10\cdot(10+1) \right\}^2$$$$~=(5\cdot11)^2$$$$~=55^2$$$$~=3025$$よって、答えは \(3025\) となります。
今回のまとめ
和の記号シグマはその記号の意味を理解しておきましょう。また、累乗の和の公式はしっかりと覚えておきましょう。
