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空間の点の座標

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今回の問題は「空間の点の座標」です。

問題点 \({\rm P}(-3~,~2~,~1)\) に対して、次の点の座標を求めよ。
\({\small (1)}\) \(xy\) 平面に下ろした垂線と \(xy\) 平面との交点 \({\rm A}\)
\({\small (2)}\) \(zx\) 平面に下ろした垂線と \(zx\) 平面との交点 \({\rm B}\)
\({\small (3)}\) 原点に対して対称な点 \({\rm C}\)
\({\small (4)}\) \(x\) 軸に対して対称な点 \({\rm D}\)
\({\small (5)}\) \(xy\) 平面に対して対称な点 \({\rm E}\)

 

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空間の点の座標の移動の解法

Point:空間の点の座標の移動点 \({\rm P}(a~,~b~,~c)\) について、
\({\small (1)}\) \(xy\) 平面に下ろした垂線と \(xy\) 平面との交点は、$$~~~~~(a~,~b~,~0)$$ → \(z\) 座標が 0 となります。

\({\small (2)}\) \(yz\) 平面に下ろした垂線と \(yz\) 平面との交点は、$$~~~~~(0~,~b~,~c)$$ → \(x\) 座標が 0 となります。

\({\small (3)}\) \(zx\) 平面に下ろした垂線と \(zx\) 平面との交点は、$$~~~~~(a~,~0~,~c)$$ → \(y\) 座標が 0 となります。

垂線との交点は、\(x~,~y~,~z\) の中で出てきていない文字の座標だけ 0 を変えると覚えておきましょう。

\({\small (4)}\) 原点に対して対称な点は、$$~~~~~(-a~,~-b~,~-c)$$ →すべての座標の符号が変わります。

\({\small (5)}\) \(x\) 軸に対して対称な点は、$$~~~~~(a~,~-b~,~-c)$$ → \(y\) 座標と \(z\) 座標の符号が変わります。

\({\small (6)}\) \(y\) 軸に対して対称な点は、$$~~~~~(-a~,~b~,~-c)$$ → \(x\) 座標と \(z\) 座標の符号が変わります。

\({\small (7)}\) \(z\) 軸に対して対称な点は、$$~~~~~(-a~,~-b~,~c)$$ → \(x\) 座標と \(y\) 座標の符号が変わります。

\({\small (8)}\) \(xy\) 平面に対して対称な点は、$$~~~~~(a~,~b~,~-c)$$ → \(z\) 座標の符号が変わります。

\({\small (9)}\) \(yz\) 平面に対して対称な点は、$$~~~~~(-a~,~b~,~c)$$ → \(x\) 座標の符号が変わります。

\({\small (10)}\) \(zx\) 平面に対して対称な点は、$$~~~~~(a~,~-b~,~c)$$ → \(y\) 座標の符号が変わります。

対称な点は、\(x~,~y~,~z\) の中で出てきていない文字の座標だけ符号を変えると覚えておきましょう。

 

問題解説:空間の点の座標

問題解説(1)

問題点 \({\rm P}(-3~,~2~,~1)\) に対して、次の点の座標を求めよ。
\({\small (1)}\) \(xy\) 平面に下ろした垂線と \(xy\) 平面との交点 \({\rm A}\)

点 \({\rm P}\) の座標は、$$~~~{\rm P}(-3~,~2~,~1)$$これより、交点は \(xy\) 平面上の点となるので、 \(z\) 座標が 0 となります。
よって、点 \({\rm A}\) の座標は、$$~~~{\rm A}(-3~,~2~,~0)$$となります。

 

問題解説(2)

問題\({\small (2)}\) \(zx\) 平面に下ろした垂線と \(zx\) 平面との交点 \({\rm B}\)

点 \({\rm P}\) の座標は、$$~~~{\rm P}(-3~,~2~,~1)$$これより、交点は \(zx\) 平面上の点となるので、 \(y\) 座標が 0 となります。
よって、点 \({\rm B}\) の座標は、$$~~~{\rm B}(-3~,~0~,~1)$$となります。

 

問題解説(3)

問題\({\small (3)}\) 原点に対して対称な点 \({\rm C}\)

点 \({\rm P}\) の座標は、$$~~~{\rm P}(-3~,~2~,~1)$$これより、原点対称な点はすべての座標の符号が変わります。
よって、点 \({\rm C}\) の座標は、$$~~~{\rm C}(3~,~-2~,~-1)$$となります。

 

問題解説(4)

問題\({\small (4)}\) \(x\) 軸に対して対称な点 \({\rm D}\)

点 \({\rm P}\) の座標は、$$~~~{\rm P}(-3~,~2~,~1)$$これより、\(x\) 軸対称な点は \(y\) 座標と \(z\) 座標の符号が変わります。
よって、点 \({\rm D}\) の座標は、$$~~~{\rm D}(-3~,~-2~,~-1)$$となります。

 

問題解説(5)

問題\({\small (5)}\) \(xy\) 平面に対して対称な点 \({\rm E}\)

点 \({\rm P}\) の座標は、$$~~~{\rm P}(-3~,~2~,~1)$$これより、\(xy\) 平面に対称な点は \(z\) 座標の符号が変わります。
よって、点 \({\rm E}\) の座標は、$$~~~{\rm E}(-3~,~2~,~-1)$$となります。

 

今回のまとめ

空間の点の座標の移動は、それぞれのパターンを覚えておきましょう。また、垂線のときはどの平面上にあるかを考えて解きましょう。

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