- 数学Ⅱ｜式と証明「x³+y³+z³-3xyzの因数分解」の基本例題解説ページです。
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問題｜x³+y³+z³-3xyzの因数分解
式と証明 08☆等式 \( x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y) \) が成り立つことを証明して、これを用いて \( x^3+y^3+z^3-3xyz \) を因数分解する方法は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
解法のPoint
x³+y³+z³-3xyzの因数分解
Point：x³+y³+z³-3xyzの因数分解
\(\begin{eqnarray}&&x^3+y^3+z^3-3xyz\\[3pt]&=&(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\end{eqnarray}\)
\( x^3+y^3+z^3-3xyz \) の因数分解は、
\(\begin{eqnarray}&&x^3+y^3+z^3-3xyz\\[3pt]&=&(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\end{eqnarray}\)
証明は、等式 \( x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y) \) を用いる。
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詳しい解説｜x³+y³+z³-3xyzの因数分解
式と証明 08☆
等式 \( x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y) \) が成り立つことを証明して、これを用いて \( x^3+y^3+z^3-3xyz \) を因数分解する方法は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
[証明] (右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x+y)^3-3xy(x+y)
\\[3pt]~~~&=&x^3+3x^2y+3xy^2+y^3-3x^2y-3xy^2
\\[3pt]~~~&=&x^3+y^3\end{eqnarray}\)
よって、
\( x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y) \) [終]
\( x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y) \) を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^3+y^3+z^3-3xyz
\\[3pt]~~~&=&(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz
\\[3pt]~~~&=&(x+y)^3+z^3-3xy(x+y)-3xyz\end{eqnarray}\)
後半部分を \( -3xy \) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z)\end{eqnarray}\)
ここで、\( a^3+b^3 \) の因数分解の公式で、\( a=x+y~,~b=z \) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\{(x+y)+z\}\left\{(x+y)^2-(x+y) \cdot z+z^2\right\}-3xy(x+y+z)
\\[3pt]~~~&=&(x+y+z)(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2)-3xy(x+y+z)\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&(x+y+z)(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2)-3xy(x+y+z)\end{eqnarray}\)
全体を \( x+y+z \) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x+y+z)\left\{(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2)-3xy\right\}
\\[3pt]~~~&=&(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\end{eqnarray}\)
