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問題｜二項定理と展開式
式と証明 09二項定理を用いた \((x-y)^5~,~\)\((2x+3)^6\) の展開式の求め方は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
解法のPoint
二項定理と展開式
Point：二項定理と展開式
\(\begin{array}{c|cccccc}
a & n & n-1 & n-2 & \cdots & 1 & 0 \\
b & 0 & 1 & 2 & \cdots & n-1 & n \\
\hline
& {}_n\mathrm{C}_0 & {}_n\mathrm{C}_1 & {}_n\mathrm{C}_2 & \cdots & {}_n\mathrm{C}_{n-1} & {}_n\mathrm{C}_n
\end{array}\)
これより、展開式は、
\(\begin{eqnarray}&&(a+b)^n
\\[3pt]&=&{}_n\mathrm{C}_0 \cdot a^n+{}_n\mathrm{C}_1 \cdot a^{n-1}b+{}_n\mathrm{C}_2 \cdot a^{n-2}b^2+\cdots\\[3pt]&~&+~{}_n\mathrm{C}_r \cdot a^{n-r}b^r+\cdots+{}_n\mathrm{C}_{n-1} \cdot ab^{n-1}+{}_n\mathrm{C}_n \cdot b^n\end{eqnarray}\)
\((a+b)^n\) において、\(a\) と \(b\) の指数の組と、係数を表す組合せの記号 \({\rm C}\) は、
\(\begin{array}{c|cccccc}
a & n & n-1 & n-2 & \cdots & 1 & 0 \\
b & 0 & 1 & 2 & \cdots & n-1 & n \\
\hline
& {}_n\mathrm{C}_0 & {}_n\mathrm{C}_1 & {}_n\mathrm{C}_2 & \cdots & {}_n\mathrm{C}_{n-1} & {}_n\mathrm{C}_n
\end{array}\)
これより、展開式は、
\(\begin{eqnarray}&&(a+b)^n
\\[3pt]&=&{}_n\mathrm{C}_0 \cdot a^n+{}_n\mathrm{C}_1 \cdot a^{n-1}b+{}_n\mathrm{C}_2 \cdot a^{n-2}b^2+\cdots\\[3pt]&~&+~{}_n\mathrm{C}_r \cdot a^{n-r}b^r+\cdots+{}_n\mathrm{C}_{n-1} \cdot ab^{n-1}+{}_n\mathrm{C}_n \cdot b^n\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜二項定理と展開式
式と証明 09
二項定理を用いた \((x-y)^5~,~\)\((2x+3)^6\) の展開式の求め方は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
\((x-y)^5\) の展開式において、\(x\) と \(-y\) の指数の組と、係数を表す組合せの記号 \({\rm C}\) は、
\(\begin{array}{c|cccccc}
x & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \\
-y & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline
& {}_5\mathrm{C}_0 & {}_5\mathrm{C}_1 & {}_5\mathrm{C}_2 & {}_5\mathrm{C}_3 & {}_5\mathrm{C}_4 & {}_5\mathrm{C}_5
\end{array}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x-y)^5
\\[5pt]~~~&=&{}_5\mathrm{C}_0 \cdot x^5 \cdot (-y)^0+{}_5\mathrm{C}_1 \cdot x^4 \cdot (-y)^1+{}_5\mathrm{C}_2 \cdot x^3 \cdot (-y)^2\\[5pt]~~~&&+{}_5\mathrm{C}_3 \cdot x^2 \cdot (-y)^3+{}_5\mathrm{C}_4 \cdot x^1 \cdot (-y)^4+{}_5\mathrm{C}_5 \cdot x^0 \cdot (-y)^5
\\[5pt]~~~&=&1 \cdot x^5-5 \cdot x^4 y+\displaystyle\frac{\,5 \cdot 4\,}{\,2 \cdot 1\,} \cdot x^3 y^2\\[5pt]~~~&&-\displaystyle\frac{\,5 \cdot 4 \cdot 3\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1\,} \cdot x^2 y^3+5 \cdot xy^4+1 \cdot 1 \cdot (-y^5)
\\[5pt]~~~&=&x^5-5x^4 y+10x^3 y^2-10x^2 y^3+5xy^4-y^5\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&{}_5\mathrm{C}_0 \cdot x^5 \cdot (-y)^0+{}_5\mathrm{C}_1 \cdot x^4 \cdot (-y)^1+{}_5\mathrm{C}_2 \cdot x^3 \cdot (-y)^2\\[5pt]~~~&&+{}_5\mathrm{C}_3 \cdot x^2 \cdot (-y)^3+{}_5\mathrm{C}_4 \cdot x^1 \cdot (-y)^4+{}_5\mathrm{C}_5 \cdot x^0 \cdot (-y)^5
\\[5pt]~~~&=&1 \cdot x^5-5 \cdot x^4 y+\displaystyle\frac{\,5 \cdot 4\,}{\,2 \cdot 1\,} \cdot x^3 y^2\\[5pt]~~~&&-\displaystyle\frac{\,5 \cdot 4 \cdot 3\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1\,} \cdot x^2 y^3+5 \cdot xy^4+1 \cdot 1 \cdot (-y^5)
\\[5pt]~~~&=&x^5-5x^4 y+10x^3 y^2-10x^2 y^3+5xy^4-y^5\end{eqnarray}\)
\((2x+3)^6\) の展開式において、\(2x\) と \(3\) の指数の組と、係数を表す組合せの記号 \({\rm C}\) は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
2x & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \\
3 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
& {}_6\mathrm{C}_0 & {}_6\mathrm{C}_1 & {}_6\mathrm{C}_2 & {}_6\mathrm{C}_3 & {}_6\mathrm{C}_4 & {}_6\mathrm{C}_5 & {}_6\mathrm{C}_6
\end{array}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(2x+3)^6
\\[5pt]~~~&=&{}_6\mathrm{C}_0 \cdot (2x)^6 \cdot 3^0+{}_6\mathrm{C}_1 \cdot (2x)^5 \cdot 3^1+{}_6\mathrm{C}_2 \cdot (2x)^4 \cdot 3^2\\[5pt]~~~&&+{}_6\mathrm{C}_3 \cdot (2x)^3 \cdot 3^3+{}_6\mathrm{C}_4 \cdot (2x)^2 \cdot 3^4+{}_6\mathrm{C}_5 \cdot (2x)^1 \cdot 3^5+{}_6\mathrm{C}_6 \cdot (2x)^0 \cdot 3^6
\\[5pt]~~~&=&1 \cdot 64 \cdot x^6+6 \cdot 32x^5 \cdot 3+\displaystyle\frac{\,6 \cdot 5\,}{\,2 \cdot 1\,} \cdot 16x^4 \cdot 9\\[5pt]~~~&&+\displaystyle\frac{\,6 \cdot 5 \cdot 4\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1\,} \cdot 8x^3 \cdot 27+\displaystyle\frac{\,6 \cdot 5\,}{\,2 \cdot 1\,} \cdot 4x^2 \cdot 81+6 \cdot 2x \cdot 243+1 \cdot 1 \cdot 729
\\[5pt]~~~&=&64x^6+576x^5+2160x^4+4320x^3+4860x^2+2916x+729\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&{}_6\mathrm{C}_0 \cdot (2x)^6 \cdot 3^0+{}_6\mathrm{C}_1 \cdot (2x)^5 \cdot 3^1+{}_6\mathrm{C}_2 \cdot (2x)^4 \cdot 3^2\\[5pt]~~~&&+{}_6\mathrm{C}_3 \cdot (2x)^3 \cdot 3^3+{}_6\mathrm{C}_4 \cdot (2x)^2 \cdot 3^4+{}_6\mathrm{C}_5 \cdot (2x)^1 \cdot 3^5+{}_6\mathrm{C}_6 \cdot (2x)^0 \cdot 3^6
\\[5pt]~~~&=&1 \cdot 64 \cdot x^6+6 \cdot 32x^5 \cdot 3+\displaystyle\frac{\,6 \cdot 5\,}{\,2 \cdot 1\,} \cdot 16x^4 \cdot 9\\[5pt]~~~&&+\displaystyle\frac{\,6 \cdot 5 \cdot 4\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1\,} \cdot 8x^3 \cdot 27+\displaystyle\frac{\,6 \cdot 5\,}{\,2 \cdot 1\,} \cdot 4x^2 \cdot 81+6 \cdot 2x \cdot 243+1 \cdot 1 \cdot 729
\\[5pt]~~~&=&64x^6+576x^5+2160x^4+4320x^3+4860x^2+2916x+729\end{eqnarray}\)
