- 数学Ⅱ｜式と証明「二項定理と項の係数」の基本例題解説ページです。
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問題｜二項定理と項の係数
式と証明 10\((3x-2y)^6\) の展開式における \(x^2y^4~,~\)\(x^3y^3~,~\)\(x^5y\) の項の係数の求め方は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
解法のPoint
二項定理と項の係数
Point：二項定理と項の係数
① 展開式の一般項を求める。
\(a\) と \(b\) の指数の組合せが \(n-r\) : \(r\) とすると、
係数が \({}_n \mathrm{ C }_r\) より、
\({}_n \mathrm{ C }_r \cdot a^{n-r} \cdot b^r\)
② 求めたい項の次数より、\(r\) の値を求める。
③ \(r\) の値より、係数を求める。
このとき、\(a\)、\(b\) の係数に注意する。
二項定理を用いた \((a+b)^n\) の展開式の項の係数は、
① 展開式の一般項を求める。
\(a\) と \(b\) の指数の組合せが \(n-r\) : \(r\) とすると、
係数が \({}_n \mathrm{ C }_r\) より、
\({}_n \mathrm{ C }_r \cdot a^{n-r} \cdot b^r\)
② 求めたい項の次数より、\(r\) の値を求める。
③ \(r\) の値より、係数を求める。
このとき、\(a\)、\(b\) の係数に注意する。
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詳しい解説｜二項定理と項の係数
式と証明 10
\((3x-2y)^6\) の展開式における \(x^2y^4~,~\)\(x^3y^3~,~\)\(x^5y\) の項の係数の求め方は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
\((3x-2y)^6\) の展開式の一般項は、
\(3x\) と \(-2y\) の指数の組合せが \(6-r\) : \(r\) で、係数が \({}_6 \mathrm{ C }_r\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_6 \mathrm{ C }_r (3x)^{6-r} \cdot (-2y)^r
\\[5pt]~~~&=&{}_6 \mathrm{ C }_r \cdot 3^{6-r} \cdot (-2)^r \cdot x^{6-r} y^r\end{eqnarray}\)
\(x^2 y^4\) の係数は、\(r=4\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_6 \mathrm{ C }_4 \cdot 3^{6-4} \cdot (-2)^4
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3\,}{\,4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\,} \cdot 3^2 \cdot 16
\\[5pt]~~~&=&15 \cdot 9 \cdot 16
\\[5pt]~~~&=&2160\end{eqnarray}\)
\(x^3 y^3\) の係数は、\(r=3\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_6 \mathrm{ C }_3 \cdot 3^{6-3} \cdot (-2)^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,6 \cdot 5 \cdot 4\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1\,} \cdot 3^3 \cdot (-8)
\\[5pt]~~~&=&20 \cdot 27 \cdot (-8)
\\[5pt]~~~&=&-4320\end{eqnarray}\)
\(x^5 y^1\) の係数は、\(r=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_6 \mathrm{ C }_1 \cdot 3^{6-1} \cdot (-2)^1
\\[5pt]~~~&=&6 \cdot 3^5 \cdot (-2)
\\[5pt]~~~&=&6 \cdot 243 \cdot (-2)
\\[5pt]~~~&=&-2916\end{eqnarray}\)
