- 数学Ⅱ｜式と証明「x²を含む展開式の項の係数」の基本例題解説ページです。
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問題｜x²を含む展開式の項の係数
式と証明 11\((2x^2-x)^5\) の展開式における \(x^8~,~\)\(x^7~,~\)\(x^6\) の項の係数の求め方は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
解法のPoint
x²を含む展開式の項の係数
Point：x²を含む展開式の項の係数
\((2x^2-x)^5\)
① 展開式の一般項を求める。
\(2x^2\) と \(-x\) の指数の組合せが \(5-r:r\) で
係数が \({}_5\mathrm{C}_r\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_5\mathrm{C}_r \cdot (2x^2)^{5-r} \cdot (-x)^r
\\[5pt]~~~&=&{}_5\mathrm{C}_r \cdot 2^{5-r} \cdot (-1)^r \cdot x^{10-r}\end{eqnarray}\)
② 求めたい項の次数より、\(r\) の値を求める。
\(x^8\) では、\(10-r=8\) より \(r=2\)
③ \(r\) の値より、係数を求める。
\(r=2\) より、\({}_5\mathrm{C}_2 \cdot 2^{5-2} \cdot (-1)^2=80\)
二項定理を用いた、\(x^2\) を含む展開式の項の係数は、
\((2x^2-x)^5\)
① 展開式の一般項を求める。
\(2x^2\) と \(-x\) の指数の組合せが \(5-r:r\) で
係数が \({}_5\mathrm{C}_r\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_5\mathrm{C}_r \cdot (2x^2)^{5-r} \cdot (-x)^r
\\[5pt]~~~&=&{}_5\mathrm{C}_r \cdot 2^{5-r} \cdot (-1)^r \cdot x^{10-r}\end{eqnarray}\)
② 求めたい項の次数より、\(r\) の値を求める。
\(x^8\) では、\(10-r=8\) より \(r=2\)
③ \(r\) の値より、係数を求める。
\(r=2\) より、\({}_5\mathrm{C}_2 \cdot 2^{5-2} \cdot (-1)^2=80\)
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詳しい解説｜x²を含む展開式の項の係数
式と証明 11
\((2x^2-x)^5\) の展開式における \(x^8~,~\)\(x^7~,~\)\(x^6\) の項の係数の求め方は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
\((2x^2-x)^5\) の展開式の一般項は、
\(2x^2\) と \(-x\) の指数の組合せが \(5-r:r\) で、
係数が \({}_5\mathrm{C}_r\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_5\mathrm{C}_r \cdot (2x^2)^{5-r} \cdot (-x)^r
\\[5pt]~~~&=&{}_5\mathrm{C}_r \cdot (2 \cdot x^2)^{5-r} \cdot (-1 \cdot x)^r
\\[5pt]~~~&=&{}_5\mathrm{C}_r \cdot 2^{5-r} \cdot (x^2)^{5-r} \cdot (-1)^r \cdot x^r
\\[5pt]~~~&=&{}_5\mathrm{C}_r \cdot 2^{5-r} \cdot (-1)^r \cdot x^{10-2r} \cdot x^r
\\[5pt]~~~&=&{}_5\mathrm{C}_r \cdot 2^{5-r} \cdot (-1)^r \cdot x^{10-2r+r}
\\[5pt]~~~&=&{}_5\mathrm{C}_r \cdot 2^{5-r} \cdot (-1)^r \cdot x^{10-r}\end{eqnarray}\)
\(x^8\) の係数は \(10-r=8~\Leftrightarrow~r=2\) のときより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_5\mathrm{C}_2 \cdot 2^{5-2} \cdot (-1)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,5 \cdot 4\,}{\,2 \cdot 1\,} \cdot 2^3 \cdot 1
\\[5pt]~~~&=&10 \cdot 8 \cdot 1
\\[5pt]~~~&=&80\end{eqnarray}\)
\(x^7\) の係数は \(10-r=7~\Leftrightarrow~r=3\) のときより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_5\mathrm{C}_3 \cdot 2^{5-3} \cdot (-1)^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,5 \cdot 4 \cdot 3\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1\,} \cdot 2^2 \cdot (-1)
\\[5pt]~~~&=&10 \cdot 4 \cdot (-1)
\\[5pt]~~~&=&-40\end{eqnarray}\)
\(x^6\) の係数は \(10-r=6~\Leftrightarrow~r=4\) のときより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_5\mathrm{C}_4 \cdot 2^{5-4} \cdot (-1)^4
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2\,}{\,4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\,} \cdot 2^1 \cdot 1
\\[5pt]~~~&=&5 \cdot 2 \cdot 1
\\[5pt]~~~&=&10\end{eqnarray}\)
