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問題｜二項定理を用いた等式の証明
式と証明 12二項定理を用いた等式 \({}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1+{}_n \mathrm{ C }_2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n=2^n\) の証明方法は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
解法のPoint
二項定理を用いた等式の証明
Point：二項定理を用いた等式の証明
\(\begin{eqnarray}&&(1+x)^n
\\[5pt]&=&{}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1 x+{}_n \mathrm{ C }_2 x^2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n x^n\end{eqnarray}\)
この展開の \(x\) に値を代入し、様々な等式が得られる。
\({\small [\,1\,]}~x=1\) とすると、
\(2^n={}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1+{}_n \mathrm{ C }_2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n\)
\(0={}_n \mathrm{ C }_0-{}_n \mathrm{ C }_1+{}_n \mathrm{ C }_2-\cdots+(-1)^n{}_n \mathrm{ C }_n\)
\(3^n={}_n \mathrm{ C }_0+2{}_n \mathrm{ C }_1+2^2{}_n \mathrm{ C }_2+\cdots+2^n{}_n \mathrm{ C }_n\)
二項定理の展開において、\(a=1~,~b=x\) とおくと、
\(\begin{eqnarray}&&(1+x)^n
\\[5pt]&=&{}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1 x+{}_n \mathrm{ C }_2 x^2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n x^n\end{eqnarray}\)
この展開の \(x\) に値を代入し、様々な等式が得られる。
\({\small [\,1\,]}~x=1\) とすると、
\(2^n={}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1+{}_n \mathrm{ C }_2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n\)
\({\small [\,2\,]}~x=-1\) とすると、
\(0={}_n \mathrm{ C }_0-{}_n \mathrm{ C }_1+{}_n \mathrm{ C }_2-\cdots+(-1)^n{}_n \mathrm{ C }_n\)
\({\small [\,3\,]}~x=-2\) とすると、
\((-1)^n={}_n \mathrm{ C }_0-2{}_n \mathrm{ C }_1+2^2{}_n \mathrm{ C }_2-\cdots+(-2)^n{}_n \mathrm{ C }_n\)
\({\small [\,4\,]}~x=2\) とすると、
\(3^n={}_n \mathrm{ C }_0+2{}_n \mathrm{ C }_1+2^2{}_n \mathrm{ C }_2+\cdots+2^n{}_n \mathrm{ C }_n\)
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詳しい解説｜二項定理を用いた等式の証明
式と証明 12
二項定理を用いた等式 \({}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1+{}_n \mathrm{ C }_2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n=2^n\) の証明方法は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
\((1+1)^n\) において、\(1\) と \(1\) の指数の組と、係数を表す組合せの記号 \({\rm C}\) は、
\(\begin{array}{c|cccccc}
1 & n & n-1 & n-2 & \cdots & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 2 & \cdots & n-1 & n \\
\hline
& {}_n\mathrm{C}_0 & {}_n\mathrm{C}_1 & {}_n\mathrm{C}_2 & \cdots & {}_n\mathrm{C}_{n-1} & {}_n\mathrm{C}_n
\end{array}\)
1 & n & n-1 & n-2 & \cdots & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 2 & \cdots & n-1 & n \\
\hline
& {}_n\mathrm{C}_0 & {}_n\mathrm{C}_1 & {}_n\mathrm{C}_2 & \cdots & {}_n\mathrm{C}_{n-1} & {}_n\mathrm{C}_n
\end{array}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
[証明] (左辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2^n
\\[3pt]~~~&=&(1+1)^n\end{eqnarray}\)
二項定理の展開式より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0 \cdot 1^n \cdot 1^0+{}_n \mathrm{ C }_1 \cdot 1^{n-1} \cdot 1^1+{}_n \mathrm{ C }_2 \cdot 1^{n-2} \cdot 1^2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \cdot 1^0 \cdot 1^n
\\[3pt]~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1+{}_n \mathrm{ C }_2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1+{}_n \mathrm{ C }_2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\({}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1+{}_n \mathrm{ C }_2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n=2^n\) [終]
