このページは、「二項定理を用いた等式の証明」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
二項定理を用いた等式の証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01二項定理を用いた等式
\({}_n \mathrm{ C }_0-{}_n \mathrm{ C }_1+{}_n \mathrm{ C }_2-\cdots+(-1)^r{}_n \mathrm{ C }_r+\cdots+(-1)^n{}_n \mathrm{ C }_n=0\)
※ 数式は横にスクロールできます。
の証明方法は？
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.14 練習8(1)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.14 練習10
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.14 練習10
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.12 問13(2)
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.23 Training 5
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.14 練習10
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.14 練習10
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.12 問13(2)
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.23 Training 5
\(\{1+(-1)\}^n\) において、\(1\) と \(-1\) の指数の組と、係数を表す組合せの記号 \({\rm C}\) は、
\(\begin{array}{c|cccccc}
1 & n & n-1 & n-2 & \cdots & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 1 & 2 & \cdots & n-1 & n \\
\hline
& {}_n\mathrm{C}_0 & {}_n\mathrm{C}_1 & {}_n\mathrm{C}_2 & \cdots & {}_n\mathrm{C}_{n-1} & {}_n\mathrm{C}_n
\end{array}\)
1 & n & n-1 & n-2 & \cdots & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 1 & 2 & \cdots & n-1 & n \\
\hline
& {}_n\mathrm{C}_0 & {}_n\mathrm{C}_1 & {}_n\mathrm{C}_2 & \cdots & {}_n\mathrm{C}_{n-1} & {}_n\mathrm{C}_n
\end{array}\)
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[証明] (左辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&0
\\[3pt]~~~&=&\{1+(-1)\}^n\end{eqnarray}\)
二項定理の展開式より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0 \cdot 1^n \cdot (-1)^0+{}_n \mathrm{ C }_1 \cdot 1^{n-1} \cdot (-1)^1+{}_n \mathrm{ C }_2 \cdot 1^{n-2} \cdot (-1)^2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \cdot 1^0 \cdot (-1)^n
\\[3pt]~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0-{}_n \mathrm{ C }_1+{}_n \mathrm{ C }_2-\cdots+(-1)^n{}_n \mathrm{ C }_n\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0-{}_n \mathrm{ C }_1+{}_n \mathrm{ C }_2-\cdots+(-1)^n{}_n \mathrm{ C }_n\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\({}_n \mathrm{ C }_0-{}_n \mathrm{ C }_1+{}_n \mathrm{ C }_2-\cdots+(-1)^n{}_n \mathrm{ C }_n=0\)
[終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02二項定理を用いた等式
\({}_n \mathrm{ C }_0-2{}_n \mathrm{ C }_1+2^2{}_n \mathrm{ C }_2-\cdots+(-2)^r{}_n \mathrm{ C }_r+\cdots+(-2)^n{}_n \mathrm{ C }_n=(-1)^n\)
※ 数式は横にスクロールできます。
の証明方法は？
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.14 練習8(2)
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.60 練習問題A 1
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.60 練習問題A 1
\((1+(-2))^n\) において、\(1\) と \(-2\) の指数の組と、係数を表す組合せの記号 \({\rm C}\) は、
\(\begin{array}{c|cccccc}
1 & n & n-1 & n-2 & \cdots & 1 & 0 \\
-2 & 0 & 1 & 2 & \cdots & n-1 & n \\
\hline
& {}_n\mathrm{C}_0 & {}_n\mathrm{C}_1 & {}_n\mathrm{C}_2 & \cdots & {}_n\mathrm{C}_{n-1} & {}_n\mathrm{C}_n
\end{array}\)
1 & n & n-1 & n-2 & \cdots & 1 & 0 \\
-2 & 0 & 1 & 2 & \cdots & n-1 & n \\
\hline
& {}_n\mathrm{C}_0 & {}_n\mathrm{C}_1 & {}_n\mathrm{C}_2 & \cdots & {}_n\mathrm{C}_{n-1} & {}_n\mathrm{C}_n
\end{array}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
[証明] (左辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(-1)^n
\\[3pt]~~~&=&(1+(-2))^n\end{eqnarray}\)
二項定理の展開式より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0 \cdot 1^n \cdot (-2)^0+{}_n \mathrm{ C }_1 \cdot 1^{n-1} \cdot (-2)^1+{}_n \mathrm{ C }_2 \cdot 1^{n-2} \cdot (-2)^2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \cdot 1^0 \cdot (-2)^n
\\[3pt]~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0-2{}_n \mathrm{ C }_1+2^2{}_n \mathrm{ C }_2-\cdots+(-2)^n{}_n \mathrm{ C }_n\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0-2{}_n \mathrm{ C }_1+2^2{}_n \mathrm{ C }_2-\cdots+(-2)^n{}_n \mathrm{ C }_n\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\({}_n \mathrm{ C }_0-2{}_n \mathrm{ C }_1+2^2{}_n \mathrm{ C }_2-\cdots+(-2)^n{}_n \mathrm{ C }_n=(-1)^n\)
[終]
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03二項定理を用いた等式
\({}_n \mathrm{ C }_0+2 \cdot {}_n \mathrm{ C }_1+2^2 \cdot {}_n \mathrm{ C }_2+\cdots+2^n \cdot {}_n \mathrm{ C }_n=3^n\)
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の証明方法は？
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.12 問13(1)
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.15 問10
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.15 問10
\((1+2)^n\) において、\(1\) と \(2\) の指数の組と、係数を表す組合せの記号 \({\rm C}\) は、
\(\begin{array}{c|cccccc}
1 & n & n-1 & n-2 & \cdots & 1 & 0 \\
2 & 0 & 1 & 2 & \cdots & n-1 & n \\
\hline
& {}_n\mathrm{C}_0 & {}_n\mathrm{C}_1 & {}_n\mathrm{C}_2 & \cdots & {}_n\mathrm{C}_{n-1} & {}_n\mathrm{C}_n
\end{array}\)
1 & n & n-1 & n-2 & \cdots & 1 & 0 \\
2 & 0 & 1 & 2 & \cdots & n-1 & n \\
\hline
& {}_n\mathrm{C}_0 & {}_n\mathrm{C}_1 & {}_n\mathrm{C}_2 & \cdots & {}_n\mathrm{C}_{n-1} & {}_n\mathrm{C}_n
\end{array}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
[証明] (左辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&3^n
\\[3pt]~~~&=&(1+2)^n\end{eqnarray}\)
二項定理の展開式より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0 \cdot 1^n \cdot 2^0+{}_n \mathrm{ C }_1 \cdot 1^{n-1} \cdot 2^1+{}_n \mathrm{ C }_2 \cdot 1^{n-2} \cdot 2^2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \cdot 1^0 \cdot 2^n
\\[3pt]~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0+2 \cdot {}_n \mathrm{ C }_1+2^2 \cdot {}_n \mathrm{ C }_2+\cdots+2^n \cdot {}_n \mathrm{ C }_n\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0+2 \cdot {}_n \mathrm{ C }_1+2^2 \cdot {}_n \mathrm{ C }_2+\cdots+2^n \cdot {}_n \mathrm{ C }_n\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\({}_n \mathrm{ C }_0+2 \cdot {}_n \mathrm{ C }_1+2^2 \cdot {}_n \mathrm{ C }_2+\cdots+2^n \cdot {}_n \mathrm{ C }_n=3^n\)
[終]
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04次の□に入る数を、二項定理を用いて求めよ。
\({}_{ 99 } \mathrm{ C }_0+{}_{ 99 } \mathrm{ C }_1+{}_{ 99 } \mathrm{ C }_2+\cdots+{}_{ 99 } \mathrm{ C }_{48}+{}_{ 99 } \mathrm{ C }_{49}=2^{□}\)
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数研出版｜数学Ⅱ[709] p.26 問題 8
二項定理より、
\({}_{ 99 } \mathrm{ C }_0+{}_{ 99 } \mathrm{ C }_1+{}_{ 99 } \mathrm{ C }_2+\cdots+{}_{ 99 } \mathrm{ C }_{98}+{}_{ 99 } \mathrm{ C }_{99}=2^{99}\)
また、\({}_n \mathrm{ C }_r={}_n \mathrm{ C }_{n-r}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_{ 99 } \mathrm{ C }_{99}={}_{ 99 } \mathrm{ C }_0\\[3pt]~~~&&{}_{ 99 } \mathrm{ C }_{98}={}_{ 99 } \mathrm{ C }_1\\[3pt]~~~&&{}_{ 99 } \mathrm{ C }_{97}={}_{ 99 } \mathrm{ C }_2\\[3pt]~~~&&\cdots\\[3pt]~~~&&{}_{ 99 } \mathrm{ C }_{51}={}_{ 99 } \mathrm{ C }_{50}\\[3pt]~~~&&{}_{ 99 } \mathrm{ C }_{50}={}_{ 99 } \mathrm{ C }_{49}
\end{eqnarray}\)
であるから、
\(\begin{eqnarray}~~~2^{99}&=&{}_{ 99 } \mathrm{ C }_0+{}_{ 99 } \mathrm{ C }_1+\cdots+{}_{ 99 } \mathrm{ C }_{49}+{}_{ 99 } \mathrm{ C }_{50}+\cdots+{}_{ 99 } \mathrm{ C }_{98}+{}_{ 99 } \mathrm{ C }_{99}
\\[3pt]~~~&=&2\left({}_{ 99 } \mathrm{ C }_0+{}_{ 99 } \mathrm{ C }_1+{}_{ 99 } \mathrm{ C }_2+\cdots+{}_{ 99 } \mathrm{ C }_{49}\right)\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&2\left({}_{ 99 } \mathrm{ C }_0+{}_{ 99 } \mathrm{ C }_1+{}_{ 99 } \mathrm{ C }_2+\cdots+{}_{ 99 } \mathrm{ C }_{49}\right)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、両辺を \(2\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~{}_{ 99 } \mathrm{ C }_0+{}_{ 99 } \mathrm{ C }_1+{}_{ 99 } \mathrm{ C }_2+\cdots+{}_{ 99 } \mathrm{ C }_{49}&=&\displaystyle\frac{\,2^{99}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&2^{98}\end{eqnarray}\)
したがって、\(□=98\)
