- 数学Ⅱ｜式と証明「(a+b+c)ⁿの項の係数」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜(a+b+c)ⁿの項の係数
式と証明 13\((x+y+z)^7\) の展開式における \(x^2y^3z^2~,~\)\(x^4y^2z~,~\)\(x^3y^4\) の項の係数の二項定理を2回用いた求め方は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
解法のPoint
(a+b+c)ⁿの項の係数
Point：(a+b+c)ⁿの項の係数
① \(\left\{(a+b)+c\right\}^n\) として、\(c^r\) を含む項の係数を求める。
\(a+b\) と \(c\) の指数の組が \(p+q:r\) で、係数 \({}_n\mathrm{C}_r\)
② \((a+b)^{p+q}\) の展開式の \(a^pb^q\) の項の係数を求める。
\(a\) と \(b\) の指数の組が \(p:q\) で、係数 \({}_{p+q}\mathrm{C}_q\)
③ ①と②の積が \(a^pb^qc^r\) の係数となる。
\({}_n\mathrm{C}_r{\, \small \times \,}{}_{p+q}\mathrm{C}_q\)（ ただし、\(p+q+r=n\) ）
\((a+b+c)^n\) の項 \(a^pb^qc^r\) の係数は、
① \(\left\{(a+b)+c\right\}^n\) として、\(c^r\) を含む項の係数を求める。
\(a+b\) と \(c\) の指数の組が \(p+q:r\) で、係数 \({}_n\mathrm{C}_r\)
② \((a+b)^{p+q}\) の展開式の \(a^pb^q\) の項の係数を求める。
\(a\) と \(b\) の指数の組が \(p:q\) で、係数 \({}_{p+q}\mathrm{C}_q\)
③ ①と②の積が \(a^pb^qc^r\) の係数となる。
\({}_n\mathrm{C}_r{\, \small \times \,}{}_{p+q}\mathrm{C}_q\)（ ただし、\(p+q+r=n\) ）
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜(a+b+c)ⁿの項の係数
式と証明 13
\((x+y+z)^7\) の展開式における \(x^2y^3z^2~,~\)\(x^4y^2z~,~\)\(x^3y^4\) の項の係数の二項定理を2回用いた求め方は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
\((x+y+z)^7=\left\{(x+y)+z\right\}^7\) より、\(x^2y^3z^2\) は \(z\) を含む項であるので、
\((x+y)\) と \(z\) の指数の組が \(5:2\) で、係数が \({}_7\mathrm{C}_2\) より、
\({}_7\mathrm{C}_2(x+y)^5 \cdot z^2\)
次に、\((x+y)^5\) の展開式において、\(x^2y^3\) の項は、
\(x\) と \(y\) の指数の組が \(2:3\) で、係数が \({}_5\mathrm{C}_3\)
これより、\(x^2y^3z^2\) の係数は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_7\mathrm{C}_2{\, \small \times \,}{}_5\mathrm{C}_3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,7 \cdot 6\,}{\,2 \cdot 1\,}{\, \small \times \,}\displaystyle\frac{\,5 \cdot 4 \cdot 3\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&21{\, \small \times \,}10
\\[5pt]~~~&=&210\end{eqnarray}\)
\(x^4y^2z\) は \(z\) を含む項であるので、
\((x+y)\) と \(z\) の指数の組が \(6:1\) で、係数が \({}_7\mathrm{C}_1\) より、
\({}_7\mathrm{C}_1(x+y)^6 \cdot z^1\)
次に、\((x+y)^6\) の展開式において、\(x^4y^2\) の項は、
\(x\) と \(y\) の指数の組が \(4:2\) で、係数が \({}_6\mathrm{C}_2\)
これより、\(x^4y^2z\) の係数は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_7\mathrm{C}_1{\, \small \times \,}{}_6\mathrm{C}_2
\\[5pt]~~~&=&7{\, \small \times \,}\displaystyle\frac{\,6 \cdot 5\,}{\,2 \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&7{\, \small \times \,}15
\\[5pt]~~~&=&105\end{eqnarray}\)
\(x^3y^4\) は \(z\) を含まない項であるので、
\((x+y)\) と \(z\) の指数の組が \(7:0\) で、係数が \({}_7\mathrm{C}_0\) より、
\({}_7\mathrm{C}_0(x+y)^7 \cdot z^0\)
次に、\((x+y)^7\) の展開式において、\(x^3y^4\) の項は、
\(x\) と \(y\) の指数の組が \(3:4\) で、係数が \({}_7\mathrm{C}_4\)
これより、\(x^3y^4\) の係数は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_7\mathrm{C}_0{\, \small \times \,}{}_7\mathrm{C}_4
\\[5pt]~~~&=&1{\, \small \times \,}\displaystyle\frac{\,7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4\,}{\,4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&35\end{eqnarray}\)
【別解】
多項定理についてはこちらから↓
\((x+y+z)^7\) の展開式の \(x^2y^3z^2\) の係数は、\(x\) が2つ、\(y\) が3つ、\(z\) が2つであるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\frac{\,7!\,}{\,2!\cdot 3!\cdot 2!\,}\cdot x^2\cdot y^3\cdot z^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\,}{\,2\cdot 1\cdot 2\cdot 1\,}\cdot x^2y^3z^2
\\[5pt]~~~&=&7\cdot 6\cdot 5\cdot x^2y^3z^2
\\[3pt]~~~&=&210~x^2y^3z^2\end{eqnarray}\)
したがって、係数は \(210\)
\((x+y+z)^7\) の展開式の \(x^4y^2z\) の係数は、\(x\) が4つ、\(y\) が2つ、\(z\) が1つであるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\frac{\,7!\,}{\,4!\cdot 2!\cdot 1!\,}\cdot x^4\cdot y^2\cdot z
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,7\cdot 6\cdot 5\,}{\,2\cdot 1\,}\cdot x^4y^2z
\\[5pt]~~~&=&7\cdot 3\cdot 5\cdot x^4y^2z
\\[3pt]~~~&=&105~x^4y^2z\end{eqnarray}\)
したがって、係数は \(105\)
\((x+y+z)^7\) の展開式の \(x^3y^4\) の係数は、\(x\) が3つ、\(y\) が4つ、\(z\) がないので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\frac{\,7!\,}{\,3!\cdot 4!\,}\cdot x^3\cdot y^4\cdot z^0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,7\cdot 6\cdot 5\,}{\,3\cdot 2\cdot 1\,}\cdot x^3y^4
\\[5pt]~~~&=&7\cdot 5\cdot x^3y^4
\\[3pt]~~~&=&35~x^3y^4\end{eqnarray}\)
したがって、係数は \(35\)
