- 数学Ⅱ｜式と証明「二項定理を用いた不等式の証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜二項定理を用いた不等式の証明
式と証明 15☆\( n \) を2以上の自然数、\( x \gt 0 \) として、不等式 \( (1+x)^n \gt 1+nx \) を二項定理を用いて証明する方法は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
解法のPoint
二項定理を用いた不等式の証明
Point：二項定理を用いた不等式の証明
\( (1+x)^n \) の展開式と \( n \) が2以上の自然数で \( x \gt 0 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(1+x)^n
\\[3pt]~~~&=&1+nx+\left({}_n \mathrm{ C }_2 x^2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n x^n\right)
\\[3pt]~~~&\gt&1+nx\end{eqnarray}\)
これより、証明される。
二項定理を用いた不等式 \( (1+x)^n \gt 1+nx \) の証明は、
\( (1+x)^n \) の展開式と \( n \) が2以上の自然数で \( x \gt 0 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(1+x)^n
\\[3pt]~~~&=&1+nx+\left({}_n \mathrm{ C }_2 x^2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n x^n\right)
\\[3pt]~~~&\gt&1+nx\end{eqnarray}\)
これより、証明される。
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不等式 \( (1+x)^n \gt 1+nx+\displaystyle\frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}x^2 \) の証明はこちらから↓
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詳しい解説｜二項定理を用いた不等式の証明
式と証明 15☆\( n \) を2以上の自然数、\( x \gt 0 \) として、不等式 \( (1+x)^n \gt 1+nx \) を二項定理を用いて証明する方法は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
[証明] \( (1+x)^n \) の展開式は二項定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(1+x)^n
\\[3pt]~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1 \,x+{}_n \mathrm{ C }_2 \,x^2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \,x^n
\\[3pt]~~~&=&1+nx+\left({}_n \mathrm{ C }_2 \,x^2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \,x^n\right)\end{eqnarray}\)
ここで、\( n \) が2以上の自然数、\( x \gt 0 \) より、
\( {}_n \mathrm{ C }_2 \,x^2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \,x^n \gt 0 \)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~(1+x)^n&=&1+nx+\left({}_n \mathrm{ C }_2 \,x^2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \,x^n\right)\\[3pt]~~~&\gt&1+nx\end{eqnarray}\)
したがって、\( (1+x)^n \gt 1+nx \) [終]
