このページは、「二項定理を用いた不等式の証明」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
二項定理を用いた不等式の証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\( n \) を3以上の自然数、\( x \gt 0 \) として、不等式 \( (1+x)^n \gt 1+nx+\displaystyle\frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}x^2 \) を二項定理を用いて証明する方法は？
[証明] \( (1+x)^n \) の展開式は二項定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(1+x)^n
\\[3pt]~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1 \,x+{}_n \mathrm{ C }_2 \,x^2+{}_n \mathrm{ C }_3 \,x^3+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \,x^n
\\[3pt]~~~&=&1+nx+\displaystyle\frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}x^2+\left({}_n \mathrm{ C }_3 \,x^3+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \,x^n\right)\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1 \,x+{}_n \mathrm{ C }_2 \,x^2+{}_n \mathrm{ C }_3 \,x^3+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \,x^n
\\[3pt]~~~&=&1+nx+\displaystyle\frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}x^2+\left({}_n \mathrm{ C }_3 \,x^3+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \,x^n\right)\end{eqnarray}\)
ここで、\( n \) が3以上の自然数、\( x \gt 0 \) より、
\( {}_n \mathrm{ C }_3 \,x^3+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \,x^n \gt 0 \)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~(1+x)^n&=&1+nx+\displaystyle\frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}x^2+\left({}_n \mathrm{ C }_3 \,x^3+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \,x^n\right)
\\[5pt]~~~&\gt&1+nx+\displaystyle\frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}x^2\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&\gt&1+nx+\displaystyle\frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}x^2\end{eqnarray}\)
したがって、
\( (1+x)^n \gt 1+nx+\displaystyle\frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}x^2 \) [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02二項定理を用いて、次の不等式が成り立つことを示せ。
\( \left(1+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n\,}\right)^n \gt 2 \)
ただし、\( n \) は2以上の自然数
\( \left(1+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n\,}\right)^n \gt 2 \)
ただし、\( n \) は2以上の自然数
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.37 章末問題B 9
[証明] \( \left(1+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n\,}\right)^n \) の展開式は二項定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left(1+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n\,}\right)^n
\\[5pt]~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1 \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n\,}+{}_n \mathrm{ C }_2 \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^2\,}+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^n\,}
\\[5pt]~~~&=&1+n\cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n\,}+\left({}_n \mathrm{ C }_2 \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^2\,}+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^n\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&1+1+\left({}_n \mathrm{ C }_2 \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^2\,}+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^n\,}\right)
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1 \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n\,}+{}_n \mathrm{ C }_2 \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^2\,}+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^n\,}
\\[5pt]~~~&=&1+n\cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n\,}+\left({}_n \mathrm{ C }_2 \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^2\,}+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^n\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&1+1+\left({}_n \mathrm{ C }_2 \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^2\,}+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^n\,}\right)
\end{eqnarray}\)
ここで、\( n \) が2以上の自然数より、
\( {}_n \mathrm{ C }_2 \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^2\,}+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^n\,} \gt 0 \)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(1+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n\,}\right)^n&=&2+\left({}_n \mathrm{ C }_2 \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^2\,}+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^n\,}\right)\\[5pt]~~~&\gt&2\end{eqnarray}\)
したがって、\( \left(1+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n\,}\right)^n \gt 2 \) [終]
