- 数学Ⅱ｜式と証明「商と余りと割る多項式」の基本例題解説ページです。
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問題｜商と余りと割る多項式
式と証明 18多項式 \(x^3+2x^2-3x+1\) を多項式 \({\rm B}\) で割った商が \(x+3\)、余りが \(x+4\) のとき、多項式 \({\rm B}\) の求め方は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
解法のPoint
商と余りと割る多項式
Point：商と余りと割る多項式
\({\rm A}={\rm B}{\rm Q}+{\rm R}\)
ただし、\({\rm R}\) は \(0\) または \({\rm B}\) より次数の低い多項式
\({\rm B}=\displaystyle\frac{\,{\rm A}-{\rm R}\,}{\,{\rm Q}\,}\)
\({\rm A}\) を \({\rm B}\) で割ったときの商が \({\rm Q}\)、余りが \({\rm R}\) のとき、
\({\rm A}={\rm B}{\rm Q}+{\rm R}\)
ただし、\({\rm R}\) は \(0\) または \({\rm B}\) より次数の低い多項式
が成り立つので、\({\rm A}-{\rm R}\) を計算して \({\rm Q}\) で割ることで \({\rm B}\) を求めることができる。
\({\rm B}=\displaystyle\frac{\,{\rm A}-{\rm R}\,}{\,{\rm Q}\,}\)
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詳しい解説｜商と余りと割る多項式
式と証明 18
多項式 \(x^3+2x^2-3x+1\) を多項式 \({\rm B}\) で割った商が \(x+3\)、余りが \(x+4\) のとき、多項式 \({\rm B}\) の求め方は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
\(x^3+2x^2-3x+1\) を \({\rm B}\) で割った商が \(x+3\)、余りが \(x+4\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^3+2x^2-3x+1&=&{\rm B}(x+3)+x+4
\\[3pt]~~~x^3+2x^2-3x+1-x-4&=&{\rm B}(x+3)
\\[3pt]~~~x^3+2x^2-4x-3&=&{\rm B}(x+3)\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~x^3+2x^2-3x+1-x-4&=&{\rm B}(x+3)
\\[3pt]~~~x^3+2x^2-4x-3&=&{\rm B}(x+3)\end{eqnarray}\)
ここで、\(x^3+2x^2-4x-3\) を \((x+3)\) で割ると、
\(\begin{array}{rr}x^2-x-1\hspace{30pt}\\x+3~)~\overline{x^3+2x^2-4x-3}\\[3pt]\underline{-~)~x^3+3x^2\phantom{-4x-3}}\\[3pt]-x^2-4x-3\\[3pt]\underline{-~)~-x^2-3x\phantom{-3}}\\[3pt]-x-3\\[3pt]\underline{-~)~-x-3}\\[3pt]0\end{array}\)
この割り算の商が \({\rm B}\) となるので、
\({\rm B}=x^2-x-1\)
