- 数学Ⅱ｜式と証明「文字係数を含む多項式の割り算」の基本例題解説ページです。
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問題｜文字係数を含む多項式の割り算
式と証明 21☆多項式 \(x^3+ax^2+5\) を多項式 \(x^2+x-1\) で割った余りが \(5x+1\) のとき、定数 \(a\) と商の求め方は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
解法のPoint
文字係数を含む多項式の割り算
Point：文字係数を含む多項式の割り算
① 多項式の割り算より、商と余りを求める。
商 \(x+a-1\)、余り \((-a+2)x+a+4\)
② 条件の余りの式より、係数を比較して定数 \(a\) の値を求める。
文字係数を含む多項式の割り算で、余りの条件から定数の求め方は、
① 多項式の割り算より、商と余りを求める。
商 \(x+a-1\)、余り \((-a+2)x+a+4\)
② 条件の余りの式より、係数を比較して定数 \(a\) の値を求める。
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詳しい解説｜文字係数を含む多項式の割り算
式と証明 21☆
多項式 \(x^3+ax^2+5\) を多項式 \(x^2+x-1\) で割った余りが \(5x+1\) のとき、定数 \(a\) と商の求め方は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
\(x^3+ax^2+5\) を \(x^2+x-1\) で割ると、
\(\begin{array}{rr}\\x^2+x-1~)~\overline{x^3+ax^2\phantom{+x}+5}\end{array}\)
※ \(x\) の項はないのでスペースを空けておく。
\(x^3\) が消えるように、\(x\) を商に立てると、
\(\begin{array}{rr}x\hspace{60pt}\\x^2+x-1~)~\overline{x^3+ax^2\phantom{+x}+5}\\\underline{-~)~x^3+x^2-x\phantom{—-}}\\(a-1)x^2+x+5\end{array}\)
\((a-1)x^2\) が消えるように、\((a-1)\) を商に立てると、
\(\begin{array}{rr}x+(a-1)\hspace{24pt}\phantom{————}\\x^2+x-1~)~\overline{x^3+ax^2\phantom{+x}~+5\phantom{————-}}\\\underline{-~)~x^3~+x^2-x~~\phantom{+5}\phantom{————-}}\\(a-1)x^2\hspace{30pt}+x\hspace{26pt}+5\\\underline{-~)~(a-1)x^2+(a-1)x-(a-1)}\\(-a+2)x+a+4\end{array}\)
これより、商 \(x+a-1\)、余り \((-a+2)x+a+4\) となる
ここで、余りが \(5x+1\) となるので、係数を比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-a+2&=&5
\\[3pt]~~~-a&=&3
\\[3pt]~~~a&=&-3\end{eqnarray}\)
（ ※ \(a+4=1\) からも \(a=-3\) と求まる ）
また、商は \(a=-3\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x+(-3)-1&=&x-4\end{eqnarray}\)
したがって、\(a=-3\)、商 \(x-4\) となる
