- 数学Ⅱ｜式と証明「分数式と共通因数の約分」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜分数式と共通因数の約分
式と証明 22分数式 \(\displaystyle\frac{\,36x^3y^2\,}{\,30xy\,}~,~\)\(\displaystyle\frac{\,x^2+4x-5\,}{\,x^2+x-2\,}~,~\)\(\displaystyle\frac{\,x^3+1\,}{\,x^2-1\,}\) を約分して簡単にする方法は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
解法のPoint
分数式と共通因数の約分
Point：分数式と共通因数の約分
① 分母分子それぞれ因数分解する。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,(x+5)(x-1)\,}{\,(x+2)(x-1)\,}\end{eqnarray}\)
② 共通因数を約分して、既約分数式にする。
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&=&\displaystyle\frac{\,(x+5)\cancel{(x-1)}\,}{\,(x+2)\cancel{(x-1)}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(x+5)\,}{\,(x+2)\,}\end{eqnarray}\)
分母分子がともに多項式の分数式の計算は、
\(\displaystyle\frac{\,x^2+4x-5\,}{\,x^2+x-2\,}\)
① 分母分子それぞれ因数分解する。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,(x+5)(x-1)\,}{\,(x+2)(x-1)\,}\end{eqnarray}\)
② 共通因数を約分して、既約分数式にする。
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&=&\displaystyle\frac{\,(x+5)\cancel{(x-1)}\,}{\,(x+2)\cancel{(x-1)}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(x+5)\,}{\,(x+2)\,}\end{eqnarray}\)
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜分数式と共通因数の約分
式と証明 22
分数式 \(\displaystyle\frac{\,36x^3y^2\,}{\,30xy\,}~,~\)\(\displaystyle\frac{\,x^2+4x-5\,}{\,x^2+x-2\,}~,~\)\(\displaystyle\frac{\,x^3+1\,}{\,x^2-1\,}\) を約分して簡単にする方法は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
共通因数 \(6xy\) を約分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\frac{\,36x^3y^2\,}{\,30xy\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,6xy \cdot 6x^2y\,}{\,6xy \cdot 5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\cancel{6xy} \cdot 6x^2y\,}{\,\cancel{6xy} \cdot 5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,6\,}{\,5\,}x^2y\end{eqnarray}\)
分母分子をそれぞれ因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\frac{\,x^2+4x-5\,}{\,x^2+x-2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(x+5)(x-1)\,}{\,(x+2)(x-1)\,}\end{eqnarray}\)
共通因数 \(x-1\) を約分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,(x+5)\cancel{(x-1)}\,}{\,(x+2)\cancel{(x-1)}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(x+5)\,}{\,(x+2)\,}\end{eqnarray}\)
分母分子をそれぞれ因数分解すると、
※ \(x^3+1\) は \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) を用いる。
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\frac{\,x^3+1\,}{\,x^2-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(x+1)(x^2-x+1)\,}{\,(x+1)(x-1)\,}\end{eqnarray}\)
共通因数 \(x+1\) を約分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,\cancel{(x+1)}(x^2-x+1)\,}{\,\cancel{(x+1)}(x-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,x^2-x+1\,}{\,x-1\,}\end{eqnarray}\)
