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問題｜分母分子に分数式を含む分数式
式と証明 26分数式 \(\displaystyle\frac{\,x-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\,}{\,1+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\,}~,~\)\(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\,}\,}\) の計算方法は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
解法のPoint
分母分子に分数式を含む分数式
Point：分母分子に分数式を含む分数式
\(\displaystyle\frac{\,x-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\,}{\,1+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\,}\)
① 分母分子を通分し計算すことで、1つの分数式にする。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,\displaystyle\frac{\,x^2-1\,}{\,x\,}\,}{\,\displaystyle\frac{\,x+1\,}{\,x\,}\,}\end{eqnarray}\)
② 全体を割り算とみて、逆数の掛け算とする。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,x^2-1\,}{\,x\,}{\, \small \times \,}\displaystyle\frac{\,x\,}{\,x+1\,}\end{eqnarray}\)
③ 因数分解して約分する。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,(x+1)(x-1)\,}{\,x+1\,}=x-1\end{eqnarray}\)
※ \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\displaystyle\frac{\,{\rm A}\,}{\,{\rm B}\,}\,}\) の形は \(\displaystyle\frac{\,{\rm B}\,}{\,{\rm A}\,}\) となる。
分母分子に分数式を含む分数式は、
\(\displaystyle\frac{\,x-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\,}{\,1+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\,}\)
① 分母分子を通分し計算すことで、1つの分数式にする。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,\displaystyle\frac{\,x^2-1\,}{\,x\,}\,}{\,\displaystyle\frac{\,x+1\,}{\,x\,}\,}\end{eqnarray}\)
② 全体を割り算とみて、逆数の掛け算とする。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,x^2-1\,}{\,x\,}{\, \small \times \,}\displaystyle\frac{\,x\,}{\,x+1\,}\end{eqnarray}\)
③ 因数分解して約分する。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,(x+1)(x-1)\,}{\,x+1\,}=x-1\end{eqnarray}\)
※ \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\displaystyle\frac{\,{\rm A}\,}{\,{\rm B}\,}\,}\) の形は \(\displaystyle\frac{\,{\rm B}\,}{\,{\rm A}\,}\) となる。
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詳しい解説｜分母分子に分数式を含む分数式
式と証明 26
分数式 \(\displaystyle\frac{\,x-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\,}{\,1+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\,}~,~\)\(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\,}\,}\) の計算方法は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
分母分子をそれぞれ通分して計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\frac{\,x-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\,}{\,1+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\displaystyle\frac{\,x^2-1\,}{\,x\,}\,}{\,\displaystyle\frac{\,x+1\,}{\,x\,}\,}\end{eqnarray}\)
分数を割り算で表し、逆数の掛け算とすると、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&=&\displaystyle\frac{\,x^2-1\,}{\,x\,}{\, \small \div \,}\displaystyle\frac{\,x+1\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,x^2-1\,}{\,x\,}{\, \small \times \,}\displaystyle\frac{\,x\,}{\,x+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,x^2-1\,}{\,\cancel{x}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle\frac{\,\cancel{x}\,}{\,x+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,x^2-1\,}{\,x+1\,}\end{eqnarray}\)
因数分解して約分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,(x+1)(x-1)\,}{\,x+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\cancel{(x+1)}(x-1)\,}{\,\cancel{x+1}\,}
\\[5pt]~~~&=&x-1\end{eqnarray}\)
【別解】
全体の分母分子に \(x\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\frac{\,x-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\,}{\,1+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\left(x-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\right){\, \small \times \,} x\,}{\,\left(1+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\right){\, \small \times \,} x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,x^2-1\,}{\,x+1\,}\end{eqnarray}\)
因数分解して約分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,(x+1)(x-1)\,}{\,x+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\cancel{(x+1)}(x-1)\,}{\,\cancel{x+1}\,}
\\[5pt]~~~&=&x-1\end{eqnarray}\)
\(1-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\) を通分して計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\displaystyle\frac{\,x-1\,}{\,x\,}\,}\,}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\displaystyle\frac{\,x-1\,}{\,x\,}\,}=\displaystyle\frac{\,x\,}{\,x-1\,}\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1-\displaystyle\frac{\,x\,}{\,x-1\,}\,}
\end{eqnarray}\)
次に、\(1-\displaystyle\frac{\,x\,}{\,x-1\,}\) を通分して計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\displaystyle\frac{\,x-1-x\,}{\,x-1\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\displaystyle\frac{\,-1\,}{\,x-1\,}\,}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\displaystyle\frac{\,-1\,}{\,x-1\,}\,}=\displaystyle\frac{\,x-1\,}{\,-1\,}\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,x-1\,}{\,-1\,}
\\[5pt]~~~&=&-x+1
\end{eqnarray}\)
