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問題｜恒等式となる等式の条件
式と証明 27等式 \(2x^2-x+1=a(x-1)^2+b(x-1)+c\) が \(x\) の恒等式となるような定数 \(a~,~b~,~c\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
解法のPoint
恒等式となる等式の条件
Point：恒等式となる等式の条件
\(a=a’~,~b=b’~,~c=c’\)
\(a=0~,~b=0~,~c=0\)
\(x\) の恒等式はどのような値についても成り立つ等式である。
\(ax^2+bx+c=a’x^2+b’x+c’\) が \(x\) についての恒等式のとき、それぞれの係数と定数項が等しいので
\(a=a’~,~b=b’~,~c=c’\)
また、\(ax^2+bx+c=0\) が \(x\) についての恒等式のとき、すべての係数と定数項が \(0\) となるので、
\(a=0~,~b=0~,~c=0\)
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詳しい解説｜恒等式となる等式の条件
式と証明 27
等式 \(2x^2-x+1=a(x-1)^2+b(x-1)+c\) が \(x\) の恒等式となるような定数 \(a~,~b~,~c\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
右辺を \(x\) について整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&a(x-1)^2+b(x-1)+c
\\[3pt]~~~&=&a(x^2-2x+1)+bx-b+c
\\[3pt]~~~&=&ax^2-2ax+a+bx-b+c
\\[3pt]~~~&=&ax^2+(-2a+b)x+(a-b+c)\end{eqnarray}\)
\(x\) についての恒等式より、左辺 \(2x^2-x+1\) の係数と定数項を比較すると、
\(\left\{\begin{array}{l}a=2~~~\hspace{37pt}\cdots{\small [\,1\,]}\\[3pt]-2a+b=-1~~~\cdots{\small [\,2\,]}\\[3pt]a-b+c=1~~~\hspace{5pt}\cdots{\small [\,3\,]}\end{array}\right.\)
\({\small [\,1\,]}\) を \({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-2\cdot 2+b&=&-1
\\[3pt]~~~-4+b&=&-1
\\[3pt]~~~b&=&-1+4
\\[3pt]~~~b&=&3\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) に \(a=2~,~b=3\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2-3+c&=&1
\\[3pt]~~~-1+c&=&1
\\[3pt]~~~c&=&1+1
\\[3pt]~~~c&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、\(a=2~,~b=3~,~c=2\) となる
