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問題｜分数式の恒等式
式と証明 28等式 \(\displaystyle \frac{\,x-4\,}{\,(x-1)(x+2)\,}=\frac{\,a\,}{\,x-1\,}+\frac{\,b\,}{\,x+2\,}\) が \(x\) の恒等式となるような定数 \(a~,~b\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
解法のPoint
分数式の恒等式
Point：分数式の恒等式
\(\displaystyle \frac{\,x-4\,}{\,(x-1)(x+2)\,}=\frac{\,a\,}{\,x-1\,}+\frac{\,b\,}{\,x+2\,}\)
① 両辺の分母が \(1\) となるような多項式を両辺に掛ける。
\(x-4=a(x+2)+b(x-1)\)
② \(x\) について整理し、両辺の係数と定数項を比較する。
\(x-4=(a+b)x+(2a-b)\)
これより、
\(\left\{\begin{array}{l}a+b=1\\[3pt]2a-b=-4\end{array}\right.\)
分数式の恒等式の係数と定数項は、
\(\displaystyle \frac{\,x-4\,}{\,(x-1)(x+2)\,}=\frac{\,a\,}{\,x-1\,}+\frac{\,b\,}{\,x+2\,}\)
① 両辺の分母が \(1\) となるような多項式を両辺に掛ける。
\(x-4=a(x+2)+b(x-1)\)
② \(x\) について整理し、両辺の係数と定数項を比較する。
\(x-4=(a+b)x+(2a-b)\)
これより、
\(\left\{\begin{array}{l}a+b=1\\[3pt]2a-b=-4\end{array}\right.\)
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詳しい解説｜分数式の恒等式
式と証明 28
等式 \(\displaystyle \frac{\,x-4\,}{\,(x-1)(x+2)\,}=\frac{\,a\,}{\,x-1\,}+\frac{\,b\,}{\,x+2\,}\) が \(x\) の恒等式となるような定数 \(a~,~b\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
分母が \(1\) となるように、両辺に \((x-1)(x+2)\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,x-4\,}{\,(x-1)(x+2)\,}{\, \small \times \,}(x-1)(x+2)&=&\frac{\,a\,}{\,x-1\,}{\, \small \times \,}(x-1)(x+2)+\frac{\,b\,}{\,x+2\,}{\, \small \times \,}(x-1)(x+2)
\\[5pt]~~~x-4&=&a(x+2)+b(x-1)\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~x-4&=&a(x+2)+b(x-1)\end{eqnarray}\)
右辺を \(x\) について整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x-4&=&ax+2a+bx-b
\\[3pt]~~~x-4&=&(a+b)x+(2a-b)\end{eqnarray}\)
\(x\) について恒等式なので、両辺の \(x\) の係数と定数項を比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+b&=&1~~~\hspace{12pt}\cdots{\small [\,1\,]}\\[3pt]~~~2a-b&=&-4~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}+{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+b&=&1\\[3pt]+)~~~2a-b&=&-4\\[3pt]\hline~~~3a&=&-3\\[3pt]~~~a&=&-1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-1+b&=&1\\[3pt]~~~b&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、\(a=-1~,~b=2\) となる
