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問題｜等式の証明
式と証明 30等式 \(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\) の証明方法は？また、
等式 \((a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2\)
の証明方法は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
解法のPoint
等式の証明
Point：等式の証明
\({\small [\,1\,]}~\)一方を式変形し、もう一方と等しいことを導く。
\({\rm A}=\cdots={\rm B}\) より、\({\rm A}={\rm B}\)
\({\small [\,2\,]}~\)両辺をそれぞれ式変形し、同じ式とする。
\({\rm A}=\cdots={\rm C}~,~{\rm B}=\cdots={\rm C}\) より、\({\rm A}={\rm B}\)
\({\small [\,3\,]}~\)\({\rm A}-{\rm B}\) を計算し \(0\) となることを示す。
\({\rm A}-{\rm B}=\cdots=0\) より、\({\rm A}={\rm B}\)
等式 \({\rm A}={\rm B}\) の証明方法は、
\({\small [\,1\,]}~\)一方を式変形し、もう一方と等しいことを導く。
\({\rm A}=\cdots={\rm B}\) より、\({\rm A}={\rm B}\)
\({\small [\,2\,]}~\)両辺をそれぞれ式変形し、同じ式とする。
\({\rm A}=\cdots={\rm C}~,~{\rm B}=\cdots={\rm C}\) より、\({\rm A}={\rm B}\)
\({\small [\,3\,]}~\)\({\rm A}-{\rm B}\) を計算し \(0\) となることを示す。
\({\rm A}-{\rm B}=\cdots=0\) より、\({\rm A}={\rm B}\)
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詳しい解説｜等式の証明
式と証明 30
等式 \(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\) の証明方法は？また、
等式 \((a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2\)
の証明方法は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
[証明]
(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a+b)^3-3ab(a+b)
\\[3pt]~~~&=&a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-3a^2b-3ab^2
\\[3pt]~~~&=&a^3+b^3\end{eqnarray}\)
したがって、\(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\) [終]
[証明]
(左辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a^2+b^2)(x^2+y^2)
\\[3pt]~~~&=&a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\end{eqnarray}\)
(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(ax+by)^2+(ay-bx)^2
\\[3pt]~~~&=&a^2x^2+2abxy+b^2y^2+a^2y^2-2abxy+b^2x^2
\\[3pt]~~~&=&a^2x^2+b^2y^2+a^2y^2+b^2x^2
\\[3pt]~~~&=&a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&a^2x^2+2abxy+b^2y^2+a^2y^2-2abxy+b^2x^2
\\[3pt]~~~&=&a^2x^2+b^2y^2+a^2y^2+b^2x^2
\\[3pt]~~~&=&a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\end{eqnarray}\)
したがって、
\((a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2\) [終]
