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問題｜条件付きの等式の証明
式と証明 31\(a+b+c=0\) のとき、等式 \(a^3+b^3+c^3=3abc\) の証明方法は？また、等式 \(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0\) の証明方法は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
解法のPoint
条件付きの等式の証明
Point：条件付きの等式の証明
\(a+b+c=0\) のとき、\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
① 条件より、文字数を減らす式をつくる。
\(a+b+c=0\) より、\(c=-a-b\)
② 条件式を代入して、等式を証明する。
（左辺）\(=a^3+b^3+(-a-b)^3\)
（右辺）\(=3ab(-a-b)\)
条件付きの等式の証明方法は、
\(a+b+c=0\) のとき、\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
① 条件より、文字数を減らす式をつくる。
\(a+b+c=0\) より、\(c=-a-b\)
② 条件式を代入して、等式を証明する。
（左辺）\(=a^3+b^3+(-a-b)^3\)
（右辺）\(=3ab(-a-b)\)
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詳しい解説｜条件付きの等式の証明
式と証明 31
\(a+b+c=0\) のとき、等式 \(a^3+b^3+c^3=3abc\) の証明方法は？また、等式 \(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0\) の証明方法は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
[証明] \(a+b+c=0\) より、\(c=-a-b\)
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^3+b^3+c^3
\\[3pt]~~~&=&a^3+b^3+(-a-b)^3
\\[3pt]~~~&=&a^3+b^3+(-1)^3 \cdot (a+b)^3
\\[3pt]~~~&=&a^3+b^3-(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)
\\[3pt]~~~&=&a^3+b^3-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3
\\[3pt]~~~&=&-3a^2b-3ab^2\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&3abc
\\[3pt]~~~&=&3ab(-a-b)
\\[3pt]~~~&=&-3a^2b-3ab^2\end{eqnarray}\)
したがって、\(a^3+b^3+c^3=3abc\) [終]
[証明] \(a+b+c=0\) より、\(c=-a-b\)
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+(-a-b)^2+2ab+2b(-a-b)+2(-a-b)a
\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+a^2+2ab+b^2+2ab-2ab-2b^2-2a^2-2ab
\\[3pt]~~~&=&a^2+a^2-2a^2+b^2+b^2-2b^2+2ab+2ab-2ab-2ab
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+(-a-b)^2+2ab+2b(-a-b)+2(-a-b)a
\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+a^2+2ab+b^2+2ab-2ab-2b^2-2a^2-2ab
\\[3pt]~~~&=&a^2+a^2-2a^2+b^2+b^2-2b^2+2ab+2ab-2ab-2ab
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0\) [終]
【別解】
[証明]
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
\\[3pt]~~~&=&(a^2+2ab+b^2)+c^2+(2bc+2ca)
\\[3pt]~~~&=&(a+b)^2+c^2+2c(a+b)\end{eqnarray}\)
ここで、\(a+b+c=0\) より、\(a+b=-c\)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(-c)^2+c^2+2c(-c)
\\[3pt]~~~&=&c^2+c^2-2c^2
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0\) [終]
