このページは、「条件付きの等式の証明」の練習問題アーカイブページとなります。
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条件付きの等式の証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
\({\small (1)}~a^2-bc=b^2-ac\)
\({\small (2)}~a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.28 練習21
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.36 問題 10
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.49 問5
\({\small (1)}\)
[証明] \(a+b+c=0\) より、\(c=-a-b\)
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2-bc
\\[3pt]~~~&=&a^2-b(-a-b)
\\[3pt]~~~&=&a^2+ab+b^2\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&b^2-ac
\\[3pt]~~~&=&b^2-a(-a-b)
\\[3pt]~~~&=&b^2+a^2+ab
\\[3pt]~~~&=&a^2+ab+b^2\end{eqnarray}\)
したがって、\(a^2-bc=b^2-ac\) [終]
\({\small (2)}\)
[証明] \(a+b+c=0\) より、\(c=-a-b\)
（左辺）
\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+(-a-b)^2+2ab+2b(-a-b)+2(-a-b)a
\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+a^2+2ab+b^2+2ab-2ab-2b^2-2a^2-2ab
\\[3pt]~~~&=&a^2+a^2-2a^2+b^2+b^2-2b^2+2ab+2ab-2ab-2ab
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、
\(a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0\) [終]
問題アーカイブ02
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.28 練習22
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.27 練習25
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.26 練習24(2)
[証明] \(a+b+c=0\) より、
\(a+b=-c~,~b+c=-a~,~c+a=-b\)
（左辺）
\\[3pt]~~~&=&ab(-c)+bc(-a)+ca(-b)+3abc
\\[3pt]~~~&=&-abc-abc-abc+3abc
\\[3pt]~~~&=&-3abc+3abc
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、
\(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc=0\) [終]
問題アーカイブ03
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.38 問題 10
[証明] \(a+b+c=0\) より、\(c=-a-b\)
（左辺）
\\[3pt]~~~&=&\{b+(-a-b)\}^2+\{(-a-b)+a\}^2+(a+b)^2+2\{b(-a-b)+(-a-b)a+ab\}
\\[3pt]~~~&=&(-a)^2+(-b)^2+(a+b)^2+2(-ab-b^2-a^2-ab+ab)
\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+a^2+2ab+b^2+2(-a^2-b^2-ab)
\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+a^2+2ab+b^2-2a^2-2b^2-2ab
\\[3pt]~~~&=&a^2+a^2-2a^2+b^2+b^2-2b^2+2ab-2ab
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、
問題アーカイブ04
\(a^2+ca=b^2+bc\)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.27 練習24
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.26 練習24(1)
[証明] \(a+b+c=0\) より、\(c=-a-b\)
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2+ca
\\[3pt]~~~&=&a^2+(-a-b)a
\\[3pt]~~~&=&a^2-a^2-ab
\\[3pt]~~~&=&-ab\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&b^2+bc
\\[3pt]~~~&=&b^2+b(-a-b)
\\[3pt]~~~&=&b^2-ab-b^2
\\[3pt]~~~&=&-ab\end{eqnarray}\)
したがって、\(a^2+ca=b^2+bc\) [終]
問題アーカイブ05
\(a^2+bc=b^2+ca\)
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.26 練習23
[証明] \(a+b=c\) より、\(c=a+b\)
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2+bc
\\[3pt]~~~&=&a^2+b(a+b)
\\[3pt]~~~&=&a^2+ab+b^2\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&b^2+ca
\\[3pt]~~~&=&b^2+(a+b)a
\\[3pt]~~~&=&b^2+a^2+ab
\\[3pt]~~~&=&a^2+ab+b^2\end{eqnarray}\)
したがって、\(a^2+bc=b^2+ca\) [終]
問題アーカイブ06
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.49 問4
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.54 問5(1)
[証明] \(x+y=1\) より、\(y=1-x\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&y^2-y
\\[3pt]~~~&=&(1-x)^2-(1-x)
\\[3pt]~~~&=&1-2x+x^2-1+x
\\[3pt]~~~&=&x^2-2x+x
\\[3pt]~~~&=&x^2-x
\end{eqnarray}\)
したがって、\(x^2-x=y^2-y\) [終]
問題アーカイブ07
\(a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)=-3abc\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.57 問24
[証明] \(a+b+c=0\) より、\(c=-a-b\)
（左辺）
\\[3pt]~~~&=&a^2\{b+(-a-b)\}+b^2\{(-a-b)+a\}+(-a-b)^2(a+b)
\\[3pt]~~~&=&a^2(-a)+b^2(-b)+(a+b)^2(a+b)
\\[3pt]~~~&=&-a^3-b^3+(a+b)^3
\\[3pt]~~~&=&-a^3-b^3+a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
\\[3pt]~~~&=&3a^2b+3ab^2
\\[3pt]~~~&=&3ab(a+b)\end{eqnarray}\)
ここで、\(c=-a-b\) より、\(a+b=-c\)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&3ab(-c)
\\[3pt]~~~&=&-3abc\end{eqnarray}\)
したがって、
\(a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)=-3abc\) [終]
問題アーカイブ08
\(a^2+b^2+c^2=-2(ab+bc+ca)\)
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.54 問5(2)
[証明] \(a+b+c=0\) より、\(c=-a-b\)
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2+b^2+c^2
\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+(-a-b)^2
\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+a^2+2ab+b^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2+2ab+2b^2\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&-2(ab+bc+ca)
\\[3pt]~~~&=&-2\{ab+b(-a-b)+(-a-b)a\}
\\[3pt]~~~&=&-2(ab-ab-b^2-a^2-ab)
\\[3pt]~~~&=&-2(-a^2-b^2-ab)
\\[3pt]~~~&=&2a^2+2b^2+2ab
\\[3pt]~~~&=&2a^2+2ab+2b^2\end{eqnarray}\)
したがって、\(a^2+b^2+c^2=-2(ab+bc+ca)\) [終]
問題アーカイブ09
\({\small (1)}~x^2+y^2=2xy+x-y\)
\({\small (2)}~y^3+1=x^3-3xy\)
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.62 Training 34
\({\small (1)}\)
[証明] \(x-y=1\) より、\(x=y+1\)
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&x^2+y^2
\\[3pt]~~~&=&(y+1)^2+y^2
\\[3pt]~~~&=&y^2+2y+1+y^2
\\[3pt]~~~&=&2y^2+2y+1\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2xy+x-y
\\[3pt]~~~&=&2(y+1)y+(y+1)-y
\\[3pt]~~~&=&2y^2+2y+y+1-y
\\[3pt]~~~&=&2y^2+2y+1\end{eqnarray}\)
したがって、\(x^2+y^2=2xy+x-y\) [終]
\({\small (2)}\)
[証明] \(x-y=1\) より、\(x=y+1\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&x^3-3xy
\\[3pt]~~~&=&(y+1)^3-3(y+1)y
\\[3pt]~~~&=&y^3+3y^2+3y+1-3y^2-3y
\\[3pt]~~~&=&y^3+1
\\[3pt]~~~&=&(\text{左辺})\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^3+1=x^3-3xy\) [終]
