- 数学Ⅱ｜式と証明「比例式と等式の証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜比例式と等式の証明
式と証明 32\(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}\) のとき、等式 \(\displaystyle\frac{\,a-b\,}{\,a+b\,}=\displaystyle\frac{\,c-d\,}{\,c+d\,}\) の証明方法は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
解法のPoint
比例式と等式の証明
Point：比例式と等式の証明
\(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}\) のとき、\(\displaystyle\frac{\,a-b\,}{\,a+b\,}=\displaystyle\frac{\,c-d\,}{\,c+d\,}\)
① 比例式を \(=k\) とおき、条件をつくる。
\(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}=k\) とおくと、\(a=kb~,~c=kd\)
② 条件を代入し、等式を証明する。
比例式を含む等式の証明は、
\(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}\) のとき、\(\displaystyle\frac{\,a-b\,}{\,a+b\,}=\displaystyle\frac{\,c-d\,}{\,c+d\,}\)
① 比例式を \(=k\) とおき、条件をつくる。
\(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}=k\) とおくと、\(a=kb~,~c=kd\)
② 条件を代入し、等式を証明する。
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詳しい解説｜比例式と等式の証明
式と証明 32
\(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}\) のとき、等式 \(\displaystyle\frac{\,a-b\,}{\,a+b\,}=\displaystyle\frac{\,c-d\,}{\,c+d\,}\) の証明方法は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
[証明] \(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}=k\) とおくと、
\(a=kb~,~c=kd\)
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,a-b\,}{\,a+b\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,kb-b\,}{\,kb+b\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,b(k-1)\,}{\,b(k+1)\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k-1\,}{\,k+1\,}\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,c-d\,}{\,c+d\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,kd-d\,}{\,kd+d\,}\hspace{25pt}(\,∵~ c=kd\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,d(k-1)\,}{\,d(k+1)\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k-1\,}{\,k+1\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle\frac{\,a-b\,}{\,a+b\,}=\displaystyle\frac{\,c-d\,}{\,c+d\,}\) [終]
