このページは、「比例式と等式の証明」の練習問題アーカイブページとなります。
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比例式と等式の証明 で確認できます。
目次
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}\) のとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle\frac{\,3a+2c\,}{\,3b+2d\,}=\displaystyle\frac{\,3a-2c\,}{\,3b-2d\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle\frac{\,a^2-b^2\,}{\,a^2+b^2\,}=\displaystyle\frac{\,c^2-d^2\,}{\,c^2+d^2\,}\)
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle\frac{\,3a+2c\,}{\,3b+2d\,}=\displaystyle\frac{\,3a-2c\,}{\,3b-2d\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle\frac{\,a^2-b^2\,}{\,a^2+b^2\,}=\displaystyle\frac{\,c^2-d^2\,}{\,c^2+d^2\,}\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.29 練習23
\({\small (1)}~\)[証明] \(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}=k\) とおくと、
\(a=kb~,~c=kd\)
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,3a+2c\,}{\,3b+2d\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,3kb+2kd\,}{\,3b+2d\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb~,~c=kd\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k(3b+2d)\,}{\,3b+2d\,}\\[3pt]~~~&=&k\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,3a-2c\,}{\,3b-2d\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,3kb-2kd\,}{\,3b-2d\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb~,~c=kd\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k(3b-2d)\,}{\,3b-2d\,}\\[3pt]~~~&=&k\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle\frac{\,3a+2c\,}{\,3b+2d\,}=\displaystyle\frac{\,3a-2c\,}{\,3b-2d\,}\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}=k\) とおくと、
\(a=kb~,~c=kd\)
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,a^2-b^2\,}{\,a^2+b^2\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(kb)^2-b^2\,}{\,(kb)^2+b^2\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k^2 b^2-b^2\,}{\,k^2 b^2+b^2\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,b^2(k^2-1)\,}{\,b^2(k^2+1)\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k^2-1\,}{\,k^2+1\,}\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,c^2-d^2\,}{\,c^2+d^2\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(kd)^2-d^2\,}{\,(kd)^2+d^2\,}\hspace{25pt}(\,∵~ c=kd\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k^2 d^2-d^2\,}{\,k^2 d^2+d^2\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,d^2(k^2-1)\,}{\,d^2(k^2+1)\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k^2-1\,}{\,k^2+1\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle\frac{\,a^2-b^2\,}{\,a^2+b^2\,}=\displaystyle\frac{\,c^2-d^2\,}{\,c^2+d^2\,}\) [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}\) のとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。
\(\displaystyle\frac{\,ma+nc\,}{\,mb+nd\,}=\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}\)
\(\displaystyle\frac{\,ma+nc\,}{\,mb+nd\,}=\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.29 練習24
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.36 問題 11
[証明] \(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}=k\) とおくと、
\(a=kb~,~c=kd\)
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,ma+nc\,}{\,mb+nd\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,m \cdot kb+n \cdot kd\,}{\,mb+nd\,}\hspace{20pt}(\,∵~ a=kb~,~c=kd\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k(mb+nd)\,}{\,mb+nd\,}\\[3pt]~~~&=&k\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,kb\,}{\,b\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb\,)\\[3pt]~~~&=&k\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle\frac{\,ma+nc\,}{\,mb+nd\,}=\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}\) [終]
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(\displaystyle\frac{\,x\,}{\,a\,}=\displaystyle\frac{\,y\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,z\,}{\,c\,}\) のとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。
\(\displaystyle\frac{\,x+2y+3z\,}{\,a+2b+3c\,}=\displaystyle\frac{\,x+y+z\,}{\,a+b+c\,}\)
\(\displaystyle\frac{\,x+2y+3z\,}{\,a+2b+3c\,}=\displaystyle\frac{\,x+y+z\,}{\,a+b+c\,}\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.38 問題 11
[証明] \(\displaystyle\frac{\,x\,}{\,a\,}=\displaystyle\frac{\,y\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,z\,}{\,c\,}=k\) とおくと、
\(x=ka~,~y=kb~,~z=kc\)
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,x+2y+3z\,}{\,a+2b+3c\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,ka+2kb+3kc\,}{\,a+2b+3c\,}\hspace{25pt}(\,∵~ x=ka~,~y=kb~,~z=kc\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k(a+2b+3c)\,}{\,a+2b+3c\,}\\[3pt]~~~&=&k\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,x+y+z\,}{\,a+b+c\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,ka+kb+kc\,}{\,a+b+c\,}\hspace{25pt}(\,∵~ x=ka~,~y=kb~,~z=kc\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k(a+b+c)\,}{\,a+b+c\,}\\[3pt]~~~&=&k\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle\frac{\,x+2y+3z\,}{\,a+2b+3c\,}=\displaystyle\frac{\,x+y+z\,}{\,a+b+c\,}\) [終]
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(\displaystyle\frac{\,x\,}{\,b+c\,}=\displaystyle\frac{\,y\,}{\,c+a\,}=\displaystyle\frac{\,z\,}{\,a+b\,}\) のとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。
\(a(y-z)+b(z-x)+c(x-y)=0\)
\(a(y-z)+b(z-x)+c(x-y)=0\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.39 演習問題B 6
[証明]（左辺）を \(x~,~y~,~z\) についてまとめると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a(y-z)+b(z-x)+c(x-y)\\[3pt]~~~&=&ay-az+bz-bx+cx-cy\\[3pt]~~~&=&(-b+c)x+(a-c)y+(-a+b)z\\[3pt]~~~&=&(c-b)x+(a-c)y+(b-a)z\end{eqnarray}\)
ここで、\(\displaystyle\frac{\,x\,}{\,b+c\,}=\displaystyle\frac{\,y\,}{\,c+a\,}=\displaystyle\frac{\,z\,}{\,a+b\,}=k\) とおくと、
\(x=k(b+c)~,~y=k(c+a)~,~z=k(a+b)\)
これを代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(c-b) \cdot k(b+c)+(a-c) \cdot k(c+a)+(b-a) \cdot k(a+b)\\[3pt]~~~&=&k\left\{(c-b)(b+c)+(a-c)(c+a)+(b-a)(a+b)\right\}\\[3pt]~~~&=&k\left\{(c^2-b^2)+(a^2-c^2)+(b^2-a^2)\right\}\\[3pt]~~~&=&k \cdot 0\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
（左辺）\(=\)（右辺）となるので、
\(a(y-z)+b(z-x)+c(x-y)=0\) [終]
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05\(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}\) のとき、次の等式を証明せよ。
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle\frac{\,a+c\,}{\,b+d\,}=\displaystyle\frac{\,2a-3c\,}{\,2b-3d\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle\frac{\,a^2+c^2\,}{\,b^2+d^2\,}=\displaystyle\frac{\,a^2\,}{\,b^2\,}\)
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle\frac{\,a+c\,}{\,b+d\,}=\displaystyle\frac{\,2a-3c\,}{\,2b-3d\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle\frac{\,a^2+c^2\,}{\,b^2+d^2\,}=\displaystyle\frac{\,a^2\,}{\,b^2\,}\)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.28 練習26
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.27 練習26
\({\small (1)}~\)[証明] \(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}=k\) とおくと、
\(a=kb~,~c=kd\)
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,a+c\,}{\,b+d\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,kb+kd\,}{\,b+d\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb~,~c=kd\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k(b+d)\,}{\,b+d\,}\\[3pt]~~~&=&k\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,2a-3c\,}{\,2b-3d\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,2kb-3kd\,}{\,2b-3d\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb~,~c=kd\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k(2b-3d)\,}{\,2b-3d\,}\\[3pt]~~~&=&k\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle\frac{\,a+c\,}{\,b+d\,}=\displaystyle\frac{\,2a-3c\,}{\,2b-3d\,}\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}=k\) とおくと、
\(a=kb~,~c=kd\)
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,a^2+c^2\,}{\,b^2+d^2\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(kb)^2+(kd)^2\,}{\,b^2+d^2\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb~,~c=kd\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k^2 b^2+k^2 d^2\,}{\,b^2+d^2\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k^2(b^2+d^2)\,}{\,b^2+d^2\,}\\[3pt]~~~&=&k^2\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,a^2\,}{\,b^2\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(kb)^2\,}{\,b^2\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k^2 b^2\,}{\,b^2\,}\\[3pt]~~~&=&k^2\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle\frac{\,a^2+c^2\,}{\,b^2+d^2\,}=\displaystyle\frac{\,a^2\,}{\,b^2\,}\) [終]
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06\(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}\) のとき、\(\displaystyle\frac{\,a+2b\,}{\,2a+b\,}=\displaystyle\frac{\,c+2d\,}{\,2c+d\,}\) を証明せよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.50 問6
[証明] \(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}=k\) とおくと、
\(a=kb~,~c=kd\)
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,a+2b\,}{\,2a+b\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,kb+2b\,}{\,2kb+b\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,b(k+2)\,}{\,b(2k+1)\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k+2\,}{\,2k+1\,}\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,c+2d\,}{\,2c+d\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,kd+2d\,}{\,2kd+d\,}\hspace{25pt}(\,∵~ c=kd\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,d(k+2)\,}{\,d(2k+1)\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k+2\,}{\,2k+1\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle\frac{\,a+2b\,}{\,2a+b\,}=\displaystyle\frac{\,c+2d\,}{\,2c+d\,}\) [終]
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07\(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}\) のとき、\(\displaystyle\frac{\,(a+b)^2\,}{\,ab\,}=\displaystyle\frac{\,(c+d)^2\,}{\,cd\,}\) を証明せよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.57 問題 25
[証明] \(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}=k\) とおくと、
\(a=kb~,~c=kd\)
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,(a+b)^2\,}{\,ab\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(kb+b)^2\,}{\,kb \cdot b\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\left\{b(k+1)\right\}^2\,}{\,kb^2\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,b^2(k+1)^2\,}{\,kb^2\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(k+1)^2\,}{\,k\,}\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,(c+d)^2\,}{\,cd\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(kd+d)^2\,}{\,kd \cdot d\,}\hspace{25pt}(\,∵~ c=kd\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\left\{d(k+1)\right\}^2\,}{\,kd^2\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,d^2(k+1)^2\,}{\,kd^2\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(k+1)^2\,}{\,k\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle\frac{\,(a+b)^2\,}{\,ab\,}=\displaystyle\frac{\,(c+d)^2\,}{\,cd\,}\) [終]
問題アーカイブ08
問題アーカイブ08\(\displaystyle\frac{\,x\,}{\,a\,}=\displaystyle\frac{\,y\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,z\,}{\,c\,}\) のとき、次の等式を証明せよ。
\((a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz)^2\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.60 練習問題A 6
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.65 Level Up 11
[証明] \(\displaystyle\frac{\,x\,}{\,a\,}=\displaystyle\frac{\,y\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,z\,}{\,c\,}=k\) とおくと、
\(x=ka~,~y=kb~,~z=kc\)
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\\[3pt]~~~&=&(a^2+b^2+c^2)\left\{(ka)^2+(kb)^2+(kc)^2\right\}\\[3pt]~~~&=&(a^2+b^2+c^2)(k^2 a^2+k^2 b^2+k^2 c^2)\\[3pt]~~~&=&(a^2+b^2+c^2) \cdot k^2(a^2+b^2+c^2)\\[3pt]~~~&=&k^2(a^2+b^2+c^2)^2\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(ax+by+cz)^2\\[3pt]~~~&=&(a \cdot ka+b \cdot kb+c \cdot kc)^2\\[3pt]~~~&=&(ka^2+kb^2+kc^2)^2\\[3pt]~~~&=&\left\{k(a^2+b^2+c^2)\right\}^2\\[3pt]~~~&=&k^2(a^2+b^2+c^2)^2\end{eqnarray}\)
したがって、
\((a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz)^2\) [終]
問題アーカイブ09
問題アーカイブ09\(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,b\,}{\,c\,}\) のとき、次の等式を証明せよ。
\((a+b+c)(a-b+c)=a^2+b^2+c^2\)
\((a+b+c)(a-b+c)=a^2+b^2+c^2\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.61 練習問題B 13
[証明] \(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,b\,}{\,c\,}=k\) とおくと、
\(a=kb~,~b=kc\)
よって、\(a=kb=k \cdot kc=k^2 c\)
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a+b+c)(a-b+c)\\[3pt]~~~&=&(k^2 c+kc+c)(k^2 c-kc+c)\\[3pt]~~~&=&c(k^2+k+1) \cdot c(k^2-k+1)\\[3pt]~~~&=&c^2(k^2+k+1)(k^2-k+1)\\[3pt]~~~&=&c^2\left\{(k^2+1)+k\right\}\left\{(k^2+1)-k\right\}\\[3pt]~~~&=&c^2\left\{(k^2+1)^2-k^2\right\}\\[3pt]~~~&=&c^2(k^4+2k^2+1-k^2)\\[3pt]~~~&=&c^2(k^4+k^2+1)\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2+b^2+c^2\\[3pt]~~~&=&(k^2 c)^2+(kc)^2+c^2\\[3pt]~~~&=&k^4 c^2+k^2 c^2+c^2\\[3pt]~~~&=&c^2(k^4+k^2+1)\end{eqnarray}\)
したがって、
\((a+b+c)(a-b+c)=a^2+b^2+c^2\) [終]
問題アーカイブ10
問題アーカイブ10\(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}\) のとき、\(\displaystyle\frac{\,2a+3c\,}{\,2b+3d\,}=\displaystyle\frac{\,2a-3c\,}{\,2b-3d\,}\) を証明せよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.54 問6
[証明] \(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}=k\) とおくと、
\(a=kb~,~c=kd\)
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,2a+3c\,}{\,2b+3d\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,2kb+3kd\,}{\,2b+3d\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb~,~c=kd\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k(2b+3d)\,}{\,2b+3d\,}\\[3pt]~~~&=&k\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,2a-3c\,}{\,2b-3d\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,2kb-3kd\,}{\,2b-3d\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb~,~c=kd\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k(2b-3d)\,}{\,2b-3d\,}\\[3pt]~~~&=&k\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle\frac{\,2a+3c\,}{\,2b+3d\,}=\displaystyle\frac{\,2a-3c\,}{\,2b-3d\,}\) [終]
問題アーカイブ11
問題アーカイブ11\(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}\) のとき、\(\displaystyle\frac{\,a+c\,}{\,b+d\,}=\displaystyle\frac{\,a^2 d\,}{\,b^2 c\,}\) を証明せよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.62 Training 35
[証明] \(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}=k\) とおくと、
\(a=kb~,~c=kd\)
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,a+c\,}{\,b+d\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,kb+kd\,}{\,b+d\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb~,~c=kd\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k(b+d)\,}{\,b+d\,}\\[3pt]~~~&=&k\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,a^2 d\,}{\,b^2 c\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(kb)^2 \cdot d\,}{\,b^2 \cdot kd\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb~,~c=kd\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k^2 b^2 d\,}{\,kb^2 d\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k^2\,}{\,k\,}\\[3pt]~~~&=&k\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle\frac{\,a+c\,}{\,b+d\,}=\displaystyle\frac{\,a^2 d\,}{\,b^2 c\,}\) [終]
