- 数学Ⅱ｜式と証明「2つの文字の和と連比」の基本例題解説ページです。
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問題｜2つの文字の和と連比
高校数学Ⅱ｜式と証明
解法のPoint
2つの文字の和と連比
2つの文字の和の比が条件のとき、
\(\displaystyle\frac{\,a+b\,}{\,3\,}=\frac{\,b+c\,}{\,4\,}=\frac{\,c+a\,}{\,5\,}\)
① 定数 \(k\) を用いて、条件式をつくる。
\(\left\{\begin{array}{l}a+b=3k
\\[3pt]b+c=4k
\\[3pt]c+a=5k\end{array}\right.\)
② 3つの条件式の和より、\(a+b+c\) を \(k\) で表す。
\(\begin{eqnarray}~~~2(a+b+c)&=&12k
\\[3pt]~~~a+b+c&=&6k\end{eqnarray}\)
③ ②と①との差より、\(a~,~b~,~c\) の値を求める。
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詳しい解説｜2つの文字の和と連比
\(\displaystyle\frac{\,a+b\,}{\,3\,}=\frac{\,b+c\,}{\,4\,}=\frac{\,c+a\,}{\,5\,}~,~\)\(a+b \neq 0~,~\)\(b+c \neq 0~,~\)\(c+a \neq 0\) のとき、\(a~,~b~,~c\) の連比の求め方は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
\(k\) を定数として、
\(\displaystyle\frac{\,a+b\,}{\,3\,}=\frac{\,b+c\,}{\,4\,}=\frac{\,c+a\,}{\,5\,}=k\)
とおくと、
\(\left\{~\begin{array}{l}a+b=3k~~~\cdots {\small [\,1\,]}
\\[3pt]b+c=4k~~~\cdots {\small [\,2\,]}
\\[3pt]c+a=5k~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{array}\right.\)
\({\small [\,1\,]}+{\small [\,2\,]}+{\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+b&=&3k
\\[3pt]~~~b+c&=&4k
\\[3pt]+)~~~c+a&=&5k
\\[3pt]\hline~~~2a+2b+2c&=&12k
\\[3pt]~~~2(a+b+c)&=&12k
\\[3pt]~~~a+b+c&=&6k~~~\cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+b+c&=&6k
\\[3pt]-)~~~a+b\hspace{16pt}&=&3k
\\[3pt]\hline~~~c&=&3k\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}-{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+b+c&=&6k
\\[3pt]-)~~~\hspace{16pt}b+c&=&4k
\\[3pt]\hline~~~a&=&2k\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}-{\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+b+c&=&6k
\\[3pt]-)~~~a\hspace{16pt}+c&=&5k
\\[3pt]\hline~~~b&=&k\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~a:b:c&=&2k:k:3k
\\[3pt]~~~&=&2:1:3\end{eqnarray}\)
