- 数学Ⅱ｜式と証明「条件付きの不等式の証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜条件付きの不等式の証明
式と証明 35\(x \gt 1~,~y \gt 1\) のとき、不等式 \(xy+1 \gt x+y\) の証明方法は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
解法のPoint
条件付きの不等式の証明
Point：不等式の性質
\({\small [\,1\,]}~\)\(a \gt b~,~b \gt c~\Rightarrow~a \gt c\)
\(~\Rightarrow~a+c \gt b+c~,~a-c \gt b-c\)
\(\Rightarrow~ac \gt bc~,~\displaystyle\frac{\,a\,}{\,c\,} \gt \frac{\,b\,}{\,c\,}\)
\(\Rightarrow~ac \lt bc~,~\displaystyle\frac{\,a\,}{\,c\,} \lt \frac{\,b\,}{\,c\,}\)
※ 負の数を掛け算・割り算すると、不等号の向きが変わる。
\(a~,~b~,~c\) を実数とするとき、
\({\small [\,1\,]}~\)\(a \gt b~,~b \gt c~\Rightarrow~a \gt c\)
\({\small [\,2\,]}~\)\(a \gt b\)
\(~\Rightarrow~a+c \gt b+c~,~a-c \gt b-c\)
\({\small [\,3\,]}~\)\(a \gt b~,~c \gt 0\)
\(\Rightarrow~ac \gt bc~,~\displaystyle\frac{\,a\,}{\,c\,} \gt \frac{\,b\,}{\,c\,}\)
\({\small [\,4\,]}~\)\(a \gt b~,~c \lt 0\)
\(\Rightarrow~ac \lt bc~,~\displaystyle\frac{\,a\,}{\,c\,} \lt \frac{\,b\,}{\,c\,}\)
※ 負の数を掛け算・割り算すると、不等号の向きが変わる。
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Point：条件付きの不等式の証明
① 不等式から(左辺)－(右辺)を計算し、因数分解していく。
※ \(x+y \lt xy+1\) のときは、
(右辺)－(左辺)とする。
② 条件式を用いて、(左辺)－(右辺)が \(0\) より大きいことを示す。
\(A-B=\cdots \gt 0~\Leftrightarrow~A \gt B\)
\(x \gt 1~,~y \gt 1\) のとき、\(xy+1 \gt x+y\) の証明方法は、
① 不等式から(左辺)－(右辺)を計算し、因数分解していく。
※ \(x+y \lt xy+1\) のときは、
(右辺)－(左辺)とする。
② 条件式を用いて、(左辺)－(右辺)が \(0\) より大きいことを示す。
\(A-B=\cdots \gt 0~\Leftrightarrow~A \gt B\)
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詳しい解説｜条件付きの不等式の証明
式と証明 35
\(x \gt 1~,~y \gt 1\) のとき、不等式 \(xy+1 \gt x+y\) の証明方法は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
\((xy+1)-(x+y)\) の計算は、\(x\)について整理して、共通因数 \(y-1\) でくくり出す。
［証明］
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(xy+1)-(x+y)
\\[3pt]~~~&=&xy+1-x-y
\\[3pt]~~~&=&xy-x-y+1
\\[3pt]~~~&=&(y-1)x-(y-1)
\\[3pt]~~~&=&(x-1)(y-1)\end{eqnarray}\)
ここで、\(x \gt 1~,~y \gt 1\) より、
\(x-1 \gt 0~,~y-1 \gt 0\) であるから、
\((x-1)(y-1) \gt 0\)
したがって、
\((xy+1)-(x+y) \gt 0\) となり、
\(xy+1 \gt x+y\) [終]
