このページは、「条件付きの不等式の証明」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
条件付きの不等式の証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
\(ac+bd \gt ad+bc\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.32 練習27
\((ac+bd)-(ad+bc)\) の計算は、\(a\)について整理して、共通因数 \(c-d\) でくくり出す。
［証明］
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(ac+bd)-(ad+bc)
\\[3pt]~~~&=&ac+bd-ad-bc
\\[3pt]~~~&=&ac-ad-bc+bd
\\[3pt]~~~&=&(c-d)a-(c-d)b
\\[3pt]~~~&=&(a-b)(c-d)\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \gt b~,~c \gt d\) より、
\(a-b \gt 0~,~c-d \gt 0\) であるから、
\((a-b)(c-d) \gt 0\)
したがって、
\((ac+bd)-(ad+bc) \gt 0\) となり、
\(ac+bd \gt ad+bc\) [終]
問題アーカイブ02
\(3x-4y \gt x-2y\)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.30 練習27
\((3x-4y)-(x-2y)\) の計算は、同類項をまとめて \(2\) でくくり出す。
［証明］
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(3x-4y)-(x-2y)
\\[3pt]~~~&=&3x-4y-x+2y
\\[3pt]~~~&=&2x-2y
\\[3pt]~~~&=&2(x-y)\end{eqnarray}\)
ここで、\(x \gt y\) より、
\(x-y \gt 0\) であるから、
\(2(x-y) \gt 0\)
したがって、
\((3x-4y)-(x-2y) \gt 0\) となり、
\(3x-4y \gt x-2y\) [終]
問題アーカイブ03
\(xy+6 \gt 3x+2y\)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.30 練習28
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.29 練習28
\((xy+6)-(3x+2y)\) の計算は、\(x\)について整理して、共通因数 \(y-3\) でくくり出す。
［証明］
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(xy+6)-(3x+2y)
\\[3pt]~~~&=&xy+6-3x-2y
\\[3pt]~~~&=&xy-3x-2y+6
\\[3pt]~~~&=&(y-3)x-2(y-3)
\\[3pt]~~~&=&(x-2)(y-3)\end{eqnarray}\)
ここで、\(x \gt 2~,~y \gt 3\) より、
\(x-2 \gt 0~,~y-3 \gt 0\) であるから、
\((x-2)(y-3) \gt 0\)
したがって、
\((xy+6)-(3x+2y) \gt 0\) となり、
\(xy+6 \gt 3x+2y\) [終]
問題アーカイブ04
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.36 問題 12
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.35 補充問題 7
\((ax+by)-(bx+ay)\) の計算は、\(x\)について整理して、共通因数 \(a-b\) でくくり出す。
［解答］
\((ax+by)-(bx+ay)\)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&ax+by-bx-ay
\\[3pt]~~~&=&ax-bx-ay+by
\\[3pt]~~~&=&(a-b)x-(a-b)y
\\[3pt]~~~&=&(a-b)(x-y)\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \lt b~,~x \lt y\) より、
\(a-b \lt 0~,~x-y \lt 0\) であるから、
\((a-b)(x-y) \gt 0\)
したがって、
\((ax+by)-(bx+ay) \gt 0\) となり、
\(ax+by \gt bx+ay\) [終]
問題アーカイブ05
\(3x-4y \gt 2x-3y\)
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.29 練習27
\((3x-4y)-(2x-3y)\) の計算は、同類項をまとめる。
［証明］
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(3x-4y)-(2x-3y)
\\[3pt]~~~&=&3x-4y-2x+3y
\\[3pt]~~~&=&x-y\end{eqnarray}\)
ここで、\(x \gt y\) より、
\(x-y \gt 0\)
したがって、
\((3x-4y)-(2x-3y) \gt 0\) となり、
\(3x-4y \gt 2x-3y\) [終]
問題アーカイブ06
\(ab+cd \gt ad+bc\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.52 問9
\((ab+cd)-(ad+bc)\) の計算は、\(a\)について整理して、共通因数 \(b-d\) でくくり出す。
［証明］
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(ab+cd)-(ad+bc)
\\[3pt]~~~&=&ab+cd-ad-bc
\\[3pt]~~~&=&ab-ad-bc+cd
\\[3pt]~~~&=&(b-d)a-(b-d)c
\\[3pt]~~~&=&(a-c)(b-d)\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \gt c~,~b \gt d\) より、
\(a-c \gt 0~,~b-d \gt 0\) であるから、
\((a-c)(b-d) \gt 0\)
したがって、
\((ab+cd)-(ad+bc) \gt 0\) となり、
\(ab+cd \gt ad+bc\) [終]
問題アーカイブ07
\((a+b)(x+y) {\small ~≦~} 2(ax+by)\)
を証明せよ。
また、等号が成り立つのはどのようなときか。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.61 練習問題B 14
\(2(ax+by)-(a+b)(x+y)\) の計算は、\(a\)について整理して、共通因数 \(x-y\) でくくり出す。
［証明］
(右辺)－(左辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2(ax+by)-(a+b)(x+y)
\\[3pt]~~~&=&2ax+2by-(ax+ay+bx+by)
\\[3pt]~~~&=&2ax+2by-ax-ay-bx-by
\\[3pt]~~~&=&ax+by-ay-bx
\\[3pt]~~~&=&ax-ay-bx+by
\\[3pt]~~~&=&(x-y)a-(x-y)b
\\[3pt]~~~&=&(a-b)(x-y)\end{eqnarray}\)
ここで、\(a {\small ~≧~} b~,~x {\small ~≧~} y\) より、
\(a-b {\small ~≧~} 0~,~x-y {\small ~≧~} 0\) であるから、
\((a-b)(x-y) {\small ~≧~} 0\)
したがって、
\(2(ax+by)-(a+b)(x+y) {\small ~≧~} 0\) となり、
\((a+b)(x+y) {\small ~≦~} 2(ax+by)\) [終]
また、等号が成り立つのは、
\((a-b)(x-y)=0\)
すなわち、\(a=b\) または \(x=y\) のとき
問題アーカイブ08
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.56 問7
\((3a+b)-(a+3b)\) の計算は、同類項をまとめて \(2\) でくくり出す。
［証明］
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(3a+b)-(a+3b)
\\[3pt]~~~&=&3a+b-a-3b
\\[3pt]~~~&=&2a-2b
\\[3pt]~~~&=&2(a-b)\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \gt b\) より、
\(a-b \gt 0\) であるから、
\(2(a-b) \gt 0\)
したがって、
\((3a+b)-(a+3b) \gt 0\) となり、
\(3a+b \gt a+3b\) [終]
問題アーカイブ09
\((a+b)(c+d) {\small ~≦~} 2(ac+bd)\)
を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.65 Level Up 12
\(2(ac+bd)-(a+b)(c+d)\) の計算は、\(a\)について整理して、共通因数 \(c-d\) でくくり出す。
［証明］
(右辺)－(左辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2(ac+bd)-(a+b)(c+d)
\\[3pt]~~~&=&2ac+2bd-(ac+ad+bc+bd)
\\[3pt]~~~&=&2ac+2bd-ac-ad-bc-bd
\\[3pt]~~~&=&ac+bd-ad-bc
\\[3pt]~~~&=&ac-ad-bc+bd
\\[3pt]~~~&=&(c-d)a-(c-d)b
\\[3pt]~~~&=&(a-b)(c-d)\end{eqnarray}\)
ここで、\(a {\small ~≧~} b~,~c {\small ~≧~} d\) より、
\(a-b {\small ~≧~} 0~,~c-d {\small ~≧~} 0\) であるから、
\((a-b)(c-d) {\small ~≧~} 0\)
したがって、
\(2(ac+bd)-(a+b)(c+d) {\small ~≧~} 0\) となり、
\((a+b)(c+d) {\small ~≦~} 2(ac+bd)\) [終]
また、等号が成り立つのは、
\((a-b)(c-d)=0\)
すなわち、\(a=b\) または \(c=d\) のとき
