このページは、「A²≧0となる不等式の証明と等号成立条件」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
A²≧0となる不等式の証明と等号成立条件 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01不等式 \(a^2+b^2{\small ~≧~}2ab\) を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.32 問5
[証明]
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a^2+b^2)-2ab
\\[3pt]~~~&=&a^2-2ab+b^2
\\[3pt]~~~&=&(a-b)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\(a^2+b^2{\small ~≧~}2ab\) [終]
また、等号が成立するのは、
\(a-b=0\) すなわち \(a=b\) のとき
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つときを調べよ。
\({\small (1)}~x^2+9y^2{\small ~≧~}6xy\)
\({\small (2)}~(a+b)^2{\small ~≧~}4ab\)
\({\small (1)}~x^2+9y^2{\small ~≧~}6xy\)
\({\small (2)}~(a+b)^2{\small ~≧~}4ab\)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.31 練習29(1)(2)
→(3)(4)はこちらから！
\({\small (1)}~\)[証明]
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x^2+9y^2)-6xy
\\[3pt]~~~&=&x^2-6xy+9y^2
\\[3pt]~~~&=&(x-3y)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\(x^2+9y^2{\small ~≧~}6xy\) [終]
また、等号が成立するのは、
\(x-3y=0\) すなわち \(x=3y\) のとき
\({\small (2)}~\)[証明]
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a+b)^2-4ab
\\[3pt]~~~&=&a^2+2ab+b^2-4ab
\\[3pt]~~~&=&a^2-2ab+b^2
\\[3pt]~~~&=&(a-b)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\((a+b)^2{\small ~≧~}4ab\) [終]
また、等号が成立するのは、
\(a-b=0\) すなわち \(a=b\) のとき
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つときを調べよ。
\({\small (1)}~x^2+4y^2{\small ~≧~}4xy\)
\({\small (2)}~(x+y)^2{\small ~≧~}4xy\)
\({\small (1)}~x^2+4y^2{\small ~≧~}4xy\)
\({\small (2)}~(x+y)^2{\small ~≧~}4xy\)
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.30 練習29
\({\small (1)}~\)[証明]
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x^2+4y^2)-4xy
\\[3pt]~~~&=&x^2-4xy+4y^2
\\[3pt]~~~&=&(x-2y)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\(x^2+4y^2{\small ~≧~}4xy\) [終]
また、等号が成立するのは、
\(x-2y=0\) すなわち \(x=2y\) のとき
\({\small (2)}~\)[証明]
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x+y)^2-4xy
\\[3pt]~~~&=&x^2+2xy+y^2-4xy
\\[3pt]~~~&=&x^2-2xy+y^2
\\[3pt]~~~&=&(x-y)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\((x+y)^2{\small ~≧~}4xy\) [終]
また、等号が成立するのは、
\(x-y=0\) すなわち \(x=y\) のとき
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04不等式 \(5(x^2+y^2){\small ~≧~}(2x-y)^2\) を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.52 問10
[証明]
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&5(x^2+y^2)-(2x-y)^2
\\[3pt]~~~&=&5x^2+5y^2-(4x^2-4xy+y^2)
\\[3pt]~~~&=&5x^2+5y^2-4x^2+4xy-y^2
\\[3pt]~~~&=&x^2+4xy+4y^2
\\[3pt]~~~&=&(x+2y)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\(5(x^2+y^2){\small ~≧~}(2x-y)^2\) [終]
また、等号が成立するのは、
\(x+2y=0\) すなわち \(x=-2y\) のとき
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
\((a^2+b^2)(x^2+y^2){\small ~≧~}(ax+by)^2\)
\((a^2+b^2)(x^2+y^2){\small ~≧~}(ax+by)^2\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.33 練習28(2)
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.57 26
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.65 Level Up 13
[証明]
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2
\\[3pt]~~~&=&a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2-(a^2x^2+2abxy+b^2y^2)
\\[3pt]~~~&=&a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2-a^2x^2-2abxy-b^2y^2
\\[3pt]~~~&=&a^2y^2-2abxy+b^2x^2
\\[3pt]~~~&=&(ay-bx)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2-(a^2x^2+2abxy+b^2y^2)
\\[3pt]~~~&=&a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2-a^2x^2-2abxy-b^2y^2
\\[3pt]~~~&=&a^2y^2-2abxy+b^2x^2
\\[3pt]~~~&=&(ay-bx)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\((a^2+b^2)(x^2+y^2){\small ~≧~}(ax+by)^2\) [終]
また、等号が成立するのは、
\(ay-bx=0\) すなわち \(ay=bx\) のとき
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
\({\small (1)}~2(x^2+y^2){\small ~≧~}(x-y)^2\)
\({\small (2)}~5(x^2+y^2){\small ~≧~}(2x-y)^2\)
\({\small (1)}~2(x^2+y^2){\small ~≧~}(x-y)^2\)
\({\small (2)}~5(x^2+y^2){\small ~≧~}(2x-y)^2\)
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.57 問8
\({\small (1)}~\)[証明]
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2(x^2+y^2)-(x-y)^2
\\[3pt]~~~&=&2x^2+2y^2-(x^2-2xy+y^2)
\\[3pt]~~~&=&2x^2+2y^2-x^2+2xy-y^2
\\[3pt]~~~&=&x^2+2xy+y^2
\\[3pt]~~~&=&(x+y)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\(2(x^2+y^2){\small ~≧~}(x-y)^2\) [終]
また、等号が成立するのは、
\(x+y=0\) すなわち \(x=-y\) のとき
\({\small (2)}~\)[証明]
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&5(x^2+y^2)-(2x-y)^2
\\[3pt]~~~&=&5x^2+5y^2-(4x^2-4xy+y^2)
\\[3pt]~~~&=&5x^2+5y^2-4x^2+4xy-y^2
\\[3pt]~~~&=&x^2+4xy+4y^2
\\[3pt]~~~&=&(x+2y)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\(5(x^2+y^2){\small ~≧~}(2x-y)^2\) [終]
また、等号が成立するのは、
\(x+2y=0\) すなわち \(x=-2y\) のとき
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
\((a^2+4)(x^2+1){\small ~≧~}(ax+2)^2\)
\((a^2+4)(x^2+1){\small ~≧~}(ax+2)^2\)
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.62 Training 36
[証明]
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a^2+4)(x^2+1)-(ax+2)^2
\\[3pt]~~~&=&a^2x^2+a^2+4x^2+4-(a^2x^2+4ax+4)
\\[3pt]~~~&=&a^2x^2+a^2+4x^2+4-a^2x^2-4ax-4
\\[3pt]~~~&=&a^2-4ax+4x^2
\\[3pt]~~~&=&(a-2x)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&a^2x^2+a^2+4x^2+4-(a^2x^2+4ax+4)
\\[3pt]~~~&=&a^2x^2+a^2+4x^2+4-a^2x^2-4ax-4
\\[3pt]~~~&=&a^2-4ax+4x^2
\\[3pt]~~~&=&(a-2x)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\((a^2+4)(x^2+1){\small ~≧~}(ax+2)^2\) [終]
また、等号が成立するのは、
\(a-2x=0\) すなわち \(a=2x\) のとき
