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問題｜A²+B²≧0となる不等式の証明と等号成立条件
式と証明 37不等式 \( x^2+y^2{\small ~≧~}xy \) の証明方法は？また、等号が成り立つ条件の求め方は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
解法のPoint
A²+B²≧0となる不等式の証明と等号成立条件
Point：A²+B²≧0となる不等式の証明と等号成立条件
① (左辺)－(右辺)より、1つの文字に着目し平方完成する。
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+y^2-xy&=&\left(x-\displaystyle\frac{\,y\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}y^2\end{eqnarray}\)
② \( A^2{\small ~≧~}0 \)~,~\( B^2{\small ~≧~}0 \) より、\( A^2+B^2{\small ~≧~}0 \) となることから、不等式を証明する。
\( \left(x-\displaystyle\frac{\,y\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}y^2{\small ~≧~}0 \)
よって、\( x^2+y^2{\small ~≧~}xy \)
③ 等号が成立する条件 \( A=0 \) かつ \( B=0 \) を解く。
\( x-\displaystyle\frac{\,y\,}{\,2\,}=0 \) かつ \( y=0 \)
すなわち \( x=y=0 \) のとき
\( A^2+B^2{\small ~≧~}0 \) となる不等式の証明は、
\( x^2+y^2{\small ~≧~}xy \)
① (左辺)－(右辺)より、1つの文字に着目し平方完成する。
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+y^2-xy&=&\left(x-\displaystyle\frac{\,y\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}y^2\end{eqnarray}\)
② \( A^2{\small ~≧~}0 \)~,~\( B^2{\small ~≧~}0 \) より、\( A^2+B^2{\small ~≧~}0 \) となることから、不等式を証明する。
\( \left(x-\displaystyle\frac{\,y\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}y^2{\small ~≧~}0 \)
よって、\( x^2+y^2{\small ~≧~}xy \)
③ 等号が成立する条件 \( A=0 \) かつ \( B=0 \) を解く。
\( x-\displaystyle\frac{\,y\,}{\,2\,}=0 \) かつ \( y=0 \)
すなわち \( x=y=0 \) のとき
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詳しい解説｜A²+B²≧0となる不等式の証明と等号成立条件
式と証明 37
不等式 \( x^2+y^2{\small ~≧~}xy \) の証明方法は？また、等号が成り立つ条件の求め方は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
[証明]
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&x^2+y^2-xy
\\[3pt]~~~&=&x^2-y\,x+y^2\end{eqnarray}\)
\( x \) について、平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(x^2-yx+\displaystyle\frac{\,y^2\,}{\,4\,}\right)-\displaystyle\frac{\,y^2\,}{\,4\,}+y^2
\\[5pt]~~~&=&\left(x-\displaystyle\frac{\,y\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}y^2\end{eqnarray}\)
ここで、\( \left(x-\displaystyle\frac{\,y\,}{\,2\,}\right)^2{\small ~≧~}0~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}y^2{\small ~≧~}0 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(x-\displaystyle\frac{\,y\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}y^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\( x^2+y^2{\small ~≧~}xy \) [終]
また、等号が成立するのは、
\(x-\displaystyle\frac{\,y\,}{\,2\,}=0\) かつ \(y=0\)
\(~\Leftrightarrow~x=\displaystyle\frac{\,y\,}{\,2\,}\) より、\(x=0\)
すなわち \( x=y=0 \) のとき
