このページは、「A²+B²≧0となる不等式の証明と等号成立条件」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
A²+B²≧0となる不等式の証明と等号成立条件 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
\({\small (1)}~\) \( a^2+ab+b^2{\small ~≧~}0 \)
\({\small (1)}~\) \( a^2+ab+b^2{\small ~≧~}0 \)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.33 練習28(1)
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[証明]
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2+ab+b^2-0
\\[3pt]~~~&=&a^2+b\,a+b^2\end{eqnarray}\)
\( a \) について、平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(a^2+ba+\displaystyle\frac{\,b^2\,}{\,4\,}\right)-\displaystyle\frac{\,b^2\,}{\,4\,}+b^2
\\[5pt]~~~&=&\left(a+\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2\end{eqnarray}\)
ここで、\( \left(a+\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)^2{\small ~≧~}0~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2{\small ~≧~}0 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(a+\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\( a^2+ab+b^2{\small ~≧~}0 \) [終]
また、等号が成立するのは、
\(a+\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}=0\) かつ \(b=0\)
\(~\Leftrightarrow~a=-\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\) より、\(a=0\)
すなわち \( a=b=0 \) のとき
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
\( a^2+b^2{\small ~≧~}2(a+b-1) \)
\( a^2+b^2{\small ~≧~}2(a+b-1) \)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.33 練習29
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.62 Training 37
\( a \) と \( b \) それぞれについて平方完成する
[証明]
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2+b^2-2(a+b-1)
\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2-2a-2b+2
\\[3pt]~~~&=&(a^2-2a)+(b^2-2b)+2
\\[3pt]~~~&=&(a^2-2a+1)-1+(b^2-2b+1)-1+2
\\[3pt]~~~&=&(a-1)^2+(b-1)^2\end{eqnarray}\)
ここで、\( (a-1)^2{\small ~≧~}0~,~(b-1)^2{\small ~≧~}0 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~(a-1)^2+(b-1)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\( a^2+b^2{\small ~≧~}2(a+b-1) \) [終]
また、等号が成立するのは、
\(a-1=0\) かつ \(b-1=0\)
すなわち \( a=b=1 \) のとき
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つときを調べよ。
\({\small (3)}~\) \( 2x^2+9y^2{\small ~≧~}6xy \)
\({\small (4)}~\) \( a^2-ab+b^2{\small ~≧~}0 \)
\({\small (3)}~\) \( 2x^2+9y^2{\small ~≧~}6xy \)
\({\small (4)}~\) \( a^2-ab+b^2{\small ~≧~}0 \)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.31 練習29(3)(4)
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\({\small (3)}~\)[証明]
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2x^2+9y^2-6xy
\\[3pt]~~~&=&x^2+(x^2-6xy+9y^2)
\\[3pt]~~~&=&x^2+(x-3y)^2\end{eqnarray}\)
ここで、\( x^2{\small ~≧~}0~,~(x-3y)^2{\small ~≧~}0 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+(x-3y)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\( 2x^2+9y^2{\small ~≧~}6xy \) [終]
また、等号が成立するのは、
\(x=0\) かつ \(x-3y=0\)
すなわち \( x=y=0 \) のとき
\({\small (4)}~\)[証明]
(左辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2-ab+b^2
\\[3pt]~~~&=&a^2-b\,a+b^2\end{eqnarray}\)
\( a \) について、平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(a^2-ba+\displaystyle\frac{\,b^2\,}{\,4\,}\right)-\displaystyle\frac{\,b^2\,}{\,4\,}+b^2
\\[5pt]~~~&=&\left(a-\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2\end{eqnarray}\)
ここで、\( \left(a-\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)^2{\small ~≧~}0~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2{\small ~≧~}0 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(a-\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\( a^2-ab+b^2{\small ~≧~}0 \) [終]
また、等号が成立するのは、
\(a-\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}=0\) かつ \(b=0\)
\(~\Leftrightarrow~a=\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\) より、\(a=0\)
すなわち \( a=b=0 \) のとき
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つときを調べよ。
\({\small (1)}~\) \( a^2+2b^2{\small ~≧~}2ab \)
\({\small (2)}~\) \( a^2-ab+b^2{\small ~≧~}0 \)
\({\small (1)}~\) \( a^2+2b^2{\small ~≧~}2ab \)
\({\small (2)}~\) \( a^2-ab+b^2{\small ~≧~}0 \)
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.31 練習30
\({\small (1)}~\)[証明]
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2+2b^2-2ab
\\[3pt]~~~&=&a^2-2ab+b^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&(a-b)^2+b^2\end{eqnarray}\)
ここで、\( (a-b)^2{\small ~≧~}0~,~b^2{\small ~≧~}0 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~(a-b)^2+b^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\( a^2+2b^2{\small ~≧~}2ab \) [終]
また、等号が成立するのは、
\(a-b=0\) かつ \(b=0\)
すなわち \( a=b=0 \) のとき
\({\small (2)}~\)[証明]
(左辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2-ab+b^2
\\[3pt]~~~&=&a^2-b\,a+b^2\end{eqnarray}\)
\( a \) について、平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(a^2-ba+\displaystyle\frac{\,b^2\,}{\,4\,}\right)-\displaystyle\frac{\,b^2\,}{\,4\,}+b^2
\\[5pt]~~~&=&\left(a-\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2\end{eqnarray}\)
ここで、\( \left(a-\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)^2{\small ~≧~}0~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2{\small ~≧~}0 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(a-\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\( a^2-ab+b^2{\small ~≧~}0 \) [終]
また、等号が成立するのは、
\(a-\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}=0\) かつ \(b=0\)
\(~\Leftrightarrow~a=\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\) より、\(a=0\)
すなわち \( a=b=0 \) のとき
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
\({\small (1)}~\) \( a^2+2b^2{\small ~≧~}2ab \)
\({\small (2)}~\) \( 2x^2{\small ~≧~}6xy-5y^2 \)
\({\small (1)}~\) \( a^2+2b^2{\small ~≧~}2ab \)
\({\small (2)}~\) \( 2x^2{\small ~≧~}6xy-5y^2 \)
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.53 問12
\({\small (1)}~\)[証明]
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2+2b^2-2ab
\\[3pt]~~~&=&a^2-2ab+b^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&(a-b)^2+b^2\end{eqnarray}\)
ここで、\( (a-b)^2{\small ~≧~}0~,~b^2{\small ~≧~}0 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~(a-b)^2+b^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\( a^2+2b^2{\small ~≧~}2ab \) [終]
また、等号が成立するのは、
\(a-b=0\) かつ \(b=0\)
すなわち \( a=b=0 \) のとき
\({\small (2)}~\)[証明]
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2x^2-(6xy-5y^2)
\\[3pt]~~~&=&2x^2-6xy+5y^2\end{eqnarray}\)
\( x \) について、平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2\left(x^2-3xy+\displaystyle\frac{\,9y^2\,}{\,4\,}\right)-\displaystyle\frac{\,9y^2\,}{\,2\,}+5y^2
\\[5pt]~~~&=&2\left(x-\displaystyle\frac{\,3y\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}y^2\end{eqnarray}\)
ここで、\( 2\left(x-\displaystyle\frac{\,3y\,}{\,2\,}\right)^2{\small ~≧~}0~,~\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}y^2{\small ~≧~}0 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2\left(x-\displaystyle\frac{\,3y\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}y^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\( 2x^2{\small ~≧~}6xy-5y^2 \) [終]
また、等号が成立するのは、
\(x-\displaystyle\frac{\,3y\,}{\,2\,}=0\) かつ \(y=0\)
\(~\Leftrightarrow~x=\displaystyle\frac{\,3y\,}{\,2\,}\) より、\(x=0\)
すなわち \( x=y=0 \) のとき
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
\({\small (1)}~\) \( x^2+y^2{\small ~≧~}xy \)
\({\small (2)}~\) \( x^2+y^2-4x-6y+13{\small ~≧~}0 \)
\({\small (1)}~\) \( x^2+y^2{\small ~≧~}xy \)
\({\small (2)}~\) \( x^2+y^2-4x-6y+13{\small ~≧~}0 \)
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.57 問9
\({\small (1)}~\)[証明]
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&x^2+y^2-xy
\\[3pt]~~~&=&x^2-y\,x+y^2\end{eqnarray}\)
\( x \) について、平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(x^2-yx+\displaystyle\frac{\,y^2\,}{\,4\,}\right)-\displaystyle\frac{\,y^2\,}{\,4\,}+y^2
\\[5pt]~~~&=&\left(x-\displaystyle\frac{\,y\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}y^2\end{eqnarray}\)
ここで、\( \left(x-\displaystyle\frac{\,y\,}{\,2\,}\right)^2{\small ~≧~}0~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}y^2{\small ~≧~}0 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(x-\displaystyle\frac{\,y\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}y^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\( x^2+y^2{\small ~≧~}xy \) [終]
また、等号が成立するのは、
\(x-\displaystyle\frac{\,y\,}{\,2\,}=0\) かつ \(y=0\)
\(~\Leftrightarrow~x=\displaystyle\frac{\,y\,}{\,2\,}\) より、\(x=0\)
すなわち \( x=y=0 \) のとき
\({\small (2)}~\)
\( x \) と \( y \) それぞれについて平方完成する
[証明]
(左辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&x^2+y^2-4x-6y+13
\\[3pt]~~~&=&x^2-4x+y^2-6y+13\end{eqnarray}\)
\( x \) と \( y \) について、それぞれ平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x^2-4x+4)-4+(y^2-6y+9)-9+13
\\[3pt]~~~&=&(x-2)^2+(y-3)^2\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&(x-2)^2+(y-3)^2\end{eqnarray}\)
ここで、\( (x-2)^2{\small ~≧~}0~,~(y-3)^2{\small ~≧~}0 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-2)^2+(y-3)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\( x^2+y^2-4x-6y+13{\small ~≧~}0 \) [終]
また、等号が成立するのは、
\(x-2=0\) かつ \(y-3=0\)
すなわち \( x=2~,~y=3 \) のとき
