- 数学Ⅱ｜式と証明「a²+b²+c²≧ab+bc+caの証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜a²+b²+c²≧ab+bc+caの証明
式と証明 38不等式 \(a^2+b^2+c^2{\small ~≧~}ab+bc+ca\) の証明方法は？また、等号が成り立つ条件の求め方は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
解法のPoint
a²+b²+c²≧ab+bc+caの証明
Point：a²+b²+c²≧ab+bc+caの証明
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\end{eqnarray}\)
ここで、\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\) とできれば、全体が \(0\) 以上と示しやすくなるので、
全体を \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) でくくり出し、かっこの中が \(2\) 倍となると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)\end{eqnarray}\)
さらに、\(2a^2=a^2+a^2\) などを分けて、組合せを考えると、
これより、\({\rm A^2+B^2+C^2}{\small ~≧~}0\) となるので、不等式を証明できる。
また、このときの統合成立条件は、
\({\rm A}=0\) かつ \({\rm B}=0\) かつ \({\rm C}=0\)
不等式 \(a^2+b^2+c^2{\small ~≧~}ab+bc+ca\) の証明方法は、
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\end{eqnarray}\)
ここで、\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\) とできれば、全体が \(0\) 以上と示しやすくなるので、
全体を \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) でくくり出し、かっこの中が \(2\) 倍となると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)\end{eqnarray}\)
さらに、\(2a^2=a^2+a^2\) などを分けて、組合せを考えると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left\{(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)\right\}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right\}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right\}\end{eqnarray}\)
これより、\({\rm A^2+B^2+C^2}{\small ~≧~}0\) となるので、不等式を証明できる。
また、このときの統合成立条件は、
\({\rm A}=0\) かつ \({\rm B}=0\) かつ \({\rm C}=0\)
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詳しい解説｜a²+b²+c²≧ab+bc+caの証明
式と証明 38
不等式 \(a^2+b^2+c^2{\small ~≧~}ab+bc+ca\) の証明方法は？また、等号が成り立つ条件の求め方は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
[証明]
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)\end{eqnarray}\)
全体を \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) でくくり出すと、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left\{(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right\}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left\{(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right\}\end{eqnarray}\)
ここで、\((a-b)^2{\small ~≧~}0~,~(b-c)^2{\small ~≧~}0~,~(c-a)^2{\small ~≧~}0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right\}{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\(a^2+b^2+c^2{\small ~≧~}ab+bc+ca\) [終]
また、等号が成立するのは、
\(a-b=0\) かつ \(b-c=0\) かつ \(c-a=0\)
\(~\Leftrightarrow~\) \(a=b\) かつ \(b=c\) かつ \(c=a\)
すなわち \( a=b=c \) のとき
